Derivate d’ordine superiore

Insieme C-infinito

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Definizione di funzione convessa

Sia f una funzione definita su un intervallo I, aperto o chiuso, limitato o illimitato.

Una funzione di f : I → R é detta convessa se,

considerato un qualsiasi intervallo [x1, x2] ⊆ I,

il valore che la funzione assume in corrispondenza dei punti di tale intervallo é non maggiore del valore che gli stessi punti ricevono dall’equazione della corda congiungente i punti

(x1, f(x1)) e (x2, f(x2)).

Come si può vedere dal grafico, nel generico intervallo [x1, x2] ⊆ I,

il grafico della funzione sta non al di sopra del grafico della corda.

In termini analitici,

scritta l’equazione della retta passante per P1 e P2

y − f(x1) = f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1)

detto

x il generico punto dell’intervallo [x1, x2],

imponiamo f(x) ≤ y

ossia

f(x) ≤ f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1)

Pertanto possiamo dire che

f é convessa su I

quando,

∀x1, x2 ∈ I si ha:

f(x) ≤ f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1)  ∀x ∈ [x1, x2]         (1)

Alla disuguaglianza precedente possiamo dare un’altra forma.

Esprimiamo l’elemento generico x ∈ [x1, x2] in funzione degli estremi dell’intervallo attraverso

la relazione parametrica

x = x2 − t (x2 − x1) = t x1 + (1 − t)x2        con t ∈ [0, 1]

sostituiamo x nella relazione precedente

In conclusione:

una funzione f : I → R é convessa in I

quando,

∀(x1, x2) ∈ I  e ∀t ∈ [0, 1],

sussiste la relazione

f(t x1 + (1 − t)x2) ≤ t f(x1) + (1 − t) f(x2)      (2)

La funzione f é detta strettamente convessa se

f(t x1 + (1 − t)x2) < t f(x1) + (1 − t) f(x2)

vale in senso stretto

∀x1, x2 ∈ I e ∀t ∈]0, 1[.

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Esempio di applicazione della formula per le funzioni convesse.

Definizione di funzione concava

Una funzione di f : I → R é detta concava se,

considerato un qualsiasi intervallo [x1, x2] ⊆ I,

il valore che la funzione assume in corrispondenza dei punti di tale intervallo é non minore del valore che gli stessi punti ricevono dall’equazione della corda congiungente i punti

(x1, f(x1)) e (x2, f(x2)).

vale la seguente disuguaglianza:

f(t x1 + (1 − t)x2) ≥ tf(x1) + (1 − t)f(x2)      (4)

Se la disuguaglianza vale in senso stretto si dirà che la funzione é strettamente concava.

il grafico della funzione sta non al di sotto del grafico della corda.

Proprietà delle funzioni convesse e concave

Le funzioni convesse godono delle seguenti proprietà:

• una funzione convessa definita su un intervallo I = [a, b], chiuso e limitato, é ivi limitata, tanto superiormente che inferiormente;

• una funzione convessa su un intervallo I risulta continua in ogni punto interno di I;

• una funzione convessa su un intervallo I ammette in ogni punto interno dell’intervallo derivata destra e derivata sinistra.

Essendo una funzione f convessa se e solo se −f é concava,

le proprietà enunciate valgono anche per le funzioni concave

• una funzione concava definita su un intervallo I = [a, b], chiuso e limitato, é ivi limitata, tanto superiormente che inferiormente;

• una funzione concava su un intervallo I risulta continua in ogni punto interno di I;

• una funzione concava su un intervallo I ammette in ogni punto interno dell’intervallo derivata destra e derivata sinistra.

Convessità e derivata

Ci siamo resi conto dall’esempio (1.1) che il riconoscimento della convessità (concavità) utilizzando la definizione non é semplice.

In aiuto ci viene la derivata.

A tal fine supponiamo che la funzione sia derivabile, allora

Teorema

Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione f sia convessa in [a, b] é che la funzione derivata sia non decrescente in [a, b].

Dimostrazione necessaria

Dimostriamo che se f é convessa allora necessariamente la derivata é non decrescente.

Facciamo riferimento alla figura:

Considerando i coefficienti angolari delle rette P1P3, P1P2 e P3P2, essi sono legati dalla seguente relazione

f(x) − f(x1) x − x1 ≤ f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≤ f(x2) − f(x) x2 − x     (5)

Facendo tendere x a x1, il primo rapporto tende alla derivata in x1,

mentre

facendo tendere x a x2 l’ultimo rapporto tende alla derivata in x2.

Essendo la (5) vera per ogni x compreso tra x1 e x2 possiamo scrivere:

f ′ (x1) ≤ f(x2) − f(x1) x2 − x1 ≤ f ′ (x2) da cui f ′ (x1) ≤ f ′ (x2)

ossia ∀x1, x2 ∈ [a, b], con x1 < x2, f ′ (x1) ≤ f ′ (x2).

Quindi la derivata é non decrescente.

Dimostriamo sufficiente.

Poniamo per ipotesi che la derivata sia non decrescente

e

applichiamo il teorema di Lagrange agli intervalli [x1, x] e [x, x2]

f(x) − f(x1) x − x1 = f ′ (x ′ 0 ), x′ 0 ∈]x1, x[ f(x2) − f(x) x2 − x = f ′ (x ′′ 0 ), x′′ 0 ∈]x, x2[

Essendo x ′ 0 < x′′ 0 segue dall’ipotesi che f ′ (x ′ 0 ) < f′ (x ′′ 0 );

la stessa relazione sussiste per i primi membri

f(x) − f(x1) x − x1 ≤ f(x2) − f(x) x2 − x da cui (f(x) − f(x1))(x2 − x) ≤ (f(x2) − f(x))(x − x1)

Isoliamo a primo membro f(x)

f(x)(x2 − x) + f(x)(x − x1) ≤ f(x1)(x2 − x) + f(x2)(x − x1)

da cui

f(x)(x2 −✚x +✚x − x1) ≤ f(x1)(x2 − x) + f(x2)(x − x1)

addizioniamo e sottraiamo al 2◦ membro

f(x1)(x − x1) f(x)(x2−x1) ≤ f(x1)(x2−x)+f(x1)(x−x1)−f(x1)(x−x1)+f(x2)(x−x1)

mettiamo in evidenza tra i primi due addendi del 2◦ membro f(x1)

e

tra gli ultimi due addendi (x − x1) f(x)(x2 − x1) ≤ f(x1)(x2 −✚x +✚x − x1) + (f(x2) − f(x1))(x − x1)

dividendo per x2 − x1,

si ottiene f(x) ≤ f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1)

Essendo questa relazione vera ∀x1, x2 ∈ [a, b], la funzione é convessa in [a, b].

Si noti che la funzione f é strettamente convessa se e solo se la derivata é crescente.

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Convessità e derivata seconda

Sia la funzione f dotata di derivata seconda in ]a, b[, richiamando il terzo corollario del teorema di Lagrange, possiamo affermare:

• se f ′′(x) > 0 ∀x ∈]a, b[ allora f ′ é crescente in [a, b];

• se f ′′(x) < 0 ∀x ∈]a, b[ allora f ′ é decrescente in [a, b].

Tenendo conto di quanto detto il teorema 4.1 può essere così riformulato.

Teorema

Sia f una funzione in [a, b] e dotata di derivata seconda nell’aperto ]a, b[.

• Se f ′′(x) > 0 ∀x ∈]a, b[ allora f é strettamente convessa in [a, b];

• se f ′′(x) < 0 ∀x ∈]a, b[ allora f é strettamente concava in [a, b].

Funzioni convesse e concave in un punto.

Teorema

Sia f una funzione derivabile in I e dotata di derivata seconda in un punto x_o ∈ I.

• Se f ′′(x_o) > 0 allora f nel punto x_o rivolge la concavità verso l’alto;

• Se f ′′(x_o) < 0 allora f nel punto x_o rivolge la concavità verso il basso.

Dimostrazione

Se,

ad esempio f ′′(x0) > 0 allora la f ′ (x) é crescente in x_o onde l’affermazione che la f in x_o rivolge la concavità verso l’alto.

Punto di flesso di una funzione

Sia f una funzione definita in I, un punto x_o ∈ int(I) é detto punto di flesso della funzione quando passando attraverso il punto x_o la funzione cambia di concavità.

Sussistono i seguenti teoremi:

Teorema

Sia f definita in I e derivabile nell’interno di I.

Se in x_o ∈ int(I) la f ′ ha un punto di massimo o minimo relativo proprio allora il punto x_o é un punto di flesso proprio.

Teorema

Sia f derivabile nell’interno di I e dotata di derivata seconda in un punto x_o ∈ int(I).

Se x_o é un punto di flesso di f necessariamente f ′′(x0) = 0.

Dimostrazione

Infatti, essendo, per ipotesi,

la funzione dotata di derivata seconda in x_o,

se fosse f ′′(x_o) > 0 la funzione rivolgerebbe nel punto x_o la concavità verso l’alto,

se fosse f ′′(x_o) < 0 la funzione rivolgerebbe nel punto x_o la concavità verso il basso.

Poiché,

per ipotesi, x_o é un punto di flesso, necessariamente f ′′(x0) = 0.

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Segue …

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