Regola di Leibnitz per le derivate d’ordine superiore dei prodotti
Nell’analisi matematica,
la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata 
-esima del prodotto di 
funzioni 
tutte derivabili:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx))\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx))f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)))\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d914d5b0e94301307da282eb0a2f6479537eb9a)
Enunciato semplice
La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in 
è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange
si esprime:
![{\displaystyle \left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d182cea6eb9656e22842e319dd6a3889d0a03b)
Dimostrazione
Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni 
e 
derivabili in :
![{\displaystyle [f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26934c6b0255af14df1f04b54d2844b9259f8153)
Ora sottraiamo e sommiamo la quantità
Raccogliendo 
e si ottiene
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h))\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8ed02821e0806e980f9c53bfe04661dfc9e5a6)
Siccome
le funzioni e sono, per ipotesi, derivabili in , quindi è qui anche continua sia
che 
Si conclude che:
e quindi:
come volevasi dimostrare.
La scoperta di Leibniz
La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz – da cui il nome – che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui
e sono due funzioni di .
Allora
il differenziale di 
è
Siccome il termine 
è “trascurabile” in quanto differenziale del second’ordine, Leibniz concluse che
Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto.
Se si divide entrambi per il differenziale 
si ottiene
Funzioni costanti
Un caso particolare notevole è
la derivata di una funzione per una costante 
:
![{\displaystyle D\left[kf(x)\right]=k\cdot f'(x)+k'\cdot f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55954cb78d2d4226307a0c6f891efba4f1578e0d)
![{\displaystyle D\left[kf(x)\right]=kf'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5a1eac9b5cfce34b5fa801ced225f26054c2ba)
Generalizzazioni
Prodotto multiplo
La regola può essere generalizzata anche per una collezione di funzioni derivabili, 
,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:
-
La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell’n-esima funzione e le restanti non derivate.
più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni 
prive di zeri:
Applicazione polinomiale
Dall’applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che
in fondo è una produttoria di funzioni uguali tutte uguali a , per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di elementi tutti uguali tra loro:
ora applicando l’ipotesi induttiva del principio di induzione per 
e ricordando che è uguale a 
, possiamo riscrivere:
siccome x0 = 1 l’equazione è dimostrata.
Derivate successive
Le derivate successive -sime del prodotto di due funzioni è:
Applicazione polinomiale
Proviamo a derivare due volte la funzione 
usando il fatto che la derivata di 
è sempre uguale a se stessa.
![{\displaystyle {\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be17494f99e23a9f1e0fcad6c7ed84abdcf27e23)
come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:
Notiamo che con
la notazione di Leibnitz,
le regole del calcolo delle derivate sembrano essere delle semplici regole di calcolo.
L’incremento infinitesimo di f vicino ad un punto x_o é dato dal
differenziale df(x_o)
così che la funzione passa da
f(x_o) a f(x_o) + df(x_o).
°°°°°
(a) Si ha allora per la funzione somma,
d(f +g)(x_o)=(f(x_o) +df(x_o)) + (g(x_o) +dg(x_o))(f(x_o) +g(x_o)) = df(x_o) +dg(x_o)
da cui
(f + g) ‘ (x_o) = d(f + g)(x_o) /dx = df(x_o) + dg(x_o)/ dx = df(x_o) dx + dg(x_o) /dx = f’ (x_o) + g’ (x_o).
(b) Si ha allora per la funzione prodotto,
d(fg)(x_o)=(f(x_o) + df(x_o))(g(x_o) + dg(x_o)) f(x_o)g(x_o) = g(x_o)df(x_o) + f(x_o)dg(x_o) + df(x_o)dg(x_o).
Ricaviamo allora
(fg) ‘ (x_o) = d(fg)(x_o) dx = g(x_o)df(x_o) + f(x_o)dg(x_o) + df(x_o)dg(x_o) /dx = f’ (x_o)g(x_o) + f(x_o)g’ (x_o) essendo la quantità
df(x_o)dg(x_o)/ dx infinitesima e dunque trascurabile.
(c) Si ha allora per la composizione di funzioni
d(g f)(x_o) = g’ (f(x_o))df(x_o) = g’ (f(x_o))f’ (x_o)/dx
da cui
(g f) ‘ (x_o) = d(g f)(x_o)/ dx = g’ (f(x_o))f’ (x_o).
(d) Si ha allora per la funzione inversa invece,
da y = f(x) si ha x = f ^-1(y)
da cui
(f ^-1 )’ (y_o) = dx/ dy = dx /f’ (x_o)dx = 1 /f’ (x_o)
essendo
dy = f’ (x)dx.
I conti precedenti hanno carattere formale:
tuttavia essi mostrano in modo netto l’efficacia della notazione di Leibnitz.
Segue …
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