Regole di differenziazione
In analisi matematica,
Definizione
La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:
![D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e1f32c1c1e4687490aa6b34af65b612119124e)
Le notazioni ![D[f(x)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a62e6fa818dc5f18ae0a8d668e9fec645aaa09)
e 
indicano il medesimo significato di derivata.
Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:
è un vettore di 
le cui componenti sono funzioni derivabili:
e
è differenziabile nella variabile 
e si ha:
Ad esempio,
se 
è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale 
, cioè 
, allora:
Inoltre, se 
e 
sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:
![J[({\mathbf f}\circ {\mathbf g})(x)]=J[{\mathbf f}({\mathbf g}(x))]\cdot J[{\mathbf g}(x)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83982973c5f93d619b4860616809eca81dae5cc)
Dimostrazione
Sia, per non appesantire la notazione, 
, da cui 
Definiamo ora
È dunque
Inoltre,
per l’ipotesi di derivabilità di , è
Esaminiamo ora il rapporto incrementale di 
![{\displaystyle D[f(g(x))]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h))=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{h))=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2c7e582bb220f1432ad86f494a3ac1200783f9)
Spezzando la frazione,
abbiamo
E quindi passando al limite
![{\displaystyle D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)+0\cdot g'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85eab3e813adfa4ab9b0c4c8f25abd4d42ef053b)
cvd.
Dimostrazione con “o” piccolo
Si considerino due funzioni ![{\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e569de0fc730b7a75b46b6fd57598e0c94712f91)
e
la funzione composta 
allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:
A questo punto si passa alla riscrittura di 
tenendo conto che quindi si ha:
Si ricorda che 
quindi si ha:
Da cui si opera una sostituzione 
ed 
e si scrive:
Da qui chiamo 
ed inoltre 
Il teorema è dimostrato
Osservazioni
che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il 
si “semplificasse” nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.
-
Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:
![{\displaystyle D[(f\circ g\circ h)(x)]=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c16ee55efa0e1288ac62ff7d08ffbdd4a0e36f2)
e così via.
Esempio
Sia 
, 
, 
Allora:
![{\displaystyle (f\circ g\circ h)(x)=\log \left[\left({x \over 2}\right)^{2}+3{x \over 2}\right]-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de820da76c1cbe4f2cbc981260d6234b57583f75)
e
![{\displaystyle D[(f\circ g\circ h)(x)]={1 \over ({x \over 2})^{2}+3{x \over 2))\cdot \left(2{x \over 2}+3\right)\cdot {1 \over 2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad06019a55bbfe8dff1f83ece19cc94d9fecb6b)
Derivate successive
L’estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno.
In particolare,
se 
possiedono tutte le derivate necessarie,
allora risulta:
Segue …
Read the rest of this entry »
![J[{\mathbf f}(x)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd99236d20948b46534a65bbca0029253e342d0)
iMathematica 
Devi effettuare l'accesso per postare un commento.