Derivata di una forma differenziale

La derivata di una $k$ -forma è una $(k+1)$ -forma.

Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna.

La derivata esterna $d\omega$ di una $k$ -forma differenziale

\omega =\sum _((1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n))a_((i_{1},\ldots ,i_{k))}(x)dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}

è la $(k+1)$ -forma

d\omega =\sum _((i=1))^{n}\sum _((1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n)){\frac {\partial a_((i_{1},\ldots ,i_{k)))){\partial x_{i))}(x)dx_{i}\wedge dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}.

Proprietà

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è un’operazione lineare.

In altre parole,

d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu

dove però $a,b$ sono scalari e non funzioni.

Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^((((\rm {deg\,))}\omega ))(\omega \wedge d\eta ).

Infine,

la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

d^{2}=0

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse ed esatte

Una forma differenziale $\omega$ è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

d\omega =0

Ad esempio,

ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una $k$ -forma $\omega$ è invece esatta se esiste una $(k-1)$ -forma $\eta$ tale che

d\eta =\omega .

La forma $\eta$ è detta primitiva di $\omega$ .

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell’immagine della derivata esterna.

Poiché $d^{2}\eta =0$ , ogni forma esatta è chiusa.

D’altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l’esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell’aperto $A$ di definizione.

A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se $X\subset \mathbb{R} ^{n}$ è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su $X$ è una forma differenziale esatta per ogni intero $p>0$ .

Forme lineari

Una 1-forma differenziale

\omega =a_{1}dx_{1}+\ldots +a_{n}dx_{n},

è chiusa se e solo se vale l’uguaglianza

{\frac {\partial a_{j)){\partial x_{i))}={\frac {\partial a_{i)){\partial x_{j))}

per ogni $i,j$ .

Forme lineari e domini semplicemente connessi

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l’aperto $A$ ).

La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell’aperto $A$ , ovvero dalla sua topologia.

Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta.

Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in $\mathbb {R} ^{n}$ .

In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D’altra parte, la forma seguente

\omega ={\frac y{x^{2}+y^{2))}dx-{\frac x{x^{2}+y^{2))}dy

definita nell’aperto del piano

A=\mathbb{R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}

è chiusa ma non esatta. L’aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un “buco”, ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb Z$ .

Questa forma è nota come “vortice”, per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

Forme lineari e analisi complessa

Le 1-forme nel piano $\R^2$ sono uno strumento fondamentale dell’analisi complessa.

Dopo aver identificato $\R^2$ con il piano complesso $\mathbb C$ , è possibile definire una 1-forma complessa

f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy

a partire da una qualsiasi funzione

f:A\to {\mathbb C}.

definita su un aperto $A$ del piano complesso.

Si tratta di un’usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali.

Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f(z)dz$ risulta essere chiusa.

Inoltre $f(z)dz$ è esatta con primitiva $g(z)$ se e solo se $g(z)$ è anch’essa olomorfa con derivata complessa $g'(z)=f(z)$ pari a $f(z)$ .

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

f(z)={\frac 1z}dz

definita sull’aperto

A={\mathbb {C))\setminus \{0\}

è chiusa (perché $1/z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1/z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$ , ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso.

In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1/z$ , può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

f(z)dz={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2))}dx+{\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2))}dy=

=\left[{\frac {x}{x^{2}+y^{2))}dx+{\frac {y}{x^{2}+y^{2))}dy\right]+i\left[-{\frac {y}{x^{2}+y^{2))}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2))}dy\right]

che mostrano che l’esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f(z)dz$ .

Integrazione di una forma differenziale

La proprietà più importante che caratterizza una $k$ -forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell’aperto $A$ su cui è definita.

L’integrale di $\omega$ è indicato con il simbolo

\int _{S}\omega

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se $k=0$ , la forma è una funzione, $S$ è un’unione di punti e l’integrale di $\omega$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

\omega =\sum a_((i_{1},\dots ,i_{k))}(x)\,dx_((i_{1))}\wedge \cdots \wedge dx_((i_{k))}

Se $S$ ha una parametrizzazione del tipo

S(u)=(x_{1}(u),\dots ,x_{k}(u))

con $u$ variabile in un dominio $D$ di $\mathbb{R} ^{k}$ , l’integrale è definito come^[1]

\int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_((i_{1},\dots ,i_{k))}(S(u)){\frac {\partial (x_((i_{1))},\dots ,x_((i_{k))})}{\partial (u_((1)),\dots ,u_((k)))))\,du_{1}\ldots du_{k}

dove

{\frac {\partial (x_((i_{1))},\dots ,x_((i_{k))})}{\partial (u_((1)),\dots ,u_((k)))))

è il determinante dello jacobiano.

Con questa definizione, il risultato dell’integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno.

Per ottenere un segno univoco si deve fissare un’orientazione su $S$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l’orientazione.

Se la sottovarietà $S$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in $\R^3$ ), l’integrale su $S$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l’orientazione) che coprono $S$ a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di base

Valgono le proprietà seguenti.

Come tutti gli integrali, l’integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

$\int _((S_{1}\sqcup S_{2))}\omega =\int _((S_{1))}\omega +\int _((S_{2))}\omega .\,\!$

L’integrale è inoltre lineare (i coefficienti $a,b$ sono costanti):

$\int _{S}(a\omega +b\eta )=a\int _{S}\omega +b\int _{S}\eta .$

L’integrale cambia di segno se l’orientazione della varietà è modificata:

$\int _((-S))=-\int _{S}.\,\!$

Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l’integrazione.

Se $\omega$ è una $(n-1)$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta $M$ , vale la relazione

\int _{M}d\omega =\int _((\partial M))\omega .

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l’integrale di una $k$ -forma esatta su una varietà chiusa è nullo.

In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di linea

Una 1-forma $\omega$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva $\gamma$ . L’integrale di $\omega$ lungo $\gamma$ può essere calcolato con la formula seguente:

\int _((\gamma ))\omega =\int _((c))^((d))\left\langle \omega (\gamma (t)),{\frac {d\gamma }{dt))(t)\right\rangle dt

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l’orientazione).

Nel caso in cui l’aperto $A$ sia contenuto nel piano $\R^2$ , la forma è del tipo

\omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy

e l’integrale si calcola nel modo seguente:

\int _((\gamma ))\omega =\int _((c))^((d))[a(x,y)\cdot x^{\prime }(t)+b(x,y)\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt

L’integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta.

Valgono infatti i fatti seguenti.

Se $\omega$ è esatta, l’integrale di $\omega$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
Conseguentemente, se $\omega$ è esatta, l’integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio,

la funzione $1/z$ su ${\mathbb C}^{*}$ non è esatta, poiché

\int _{\gamma }{\frac 1z}=2\pi i

per ogni curva $\gamma$ avente indice di avvolgimento 1 con l’origine.

[1]

L	M	M	G	V	S	D
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

iMathematica

Archivi giornalieri: 22 aprile 2021

Forma differenziale

Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili,

una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una –varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo , una forma differenziale ha una dimensione minore o uguale a .

Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come -forma.

Nel caso , la forma è un’ordinaria funzione.

In generale,

la proprietà che caratterizza è la possibilità di effettuare l’integrale di su un qualsiasi oggetto geometrico , di analoga dimensione , di una generica –varietà differenziabile.

Il risultato di questa integrazione è indicato con

Pertanto,

una 1-forma è integrabile su una curva,

una 2-forma su una superficie,

e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell’analisi matematica,

e

in particolare in analisi complessa.

Definizione

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo.

Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l’algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente.

In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di , ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formale

Sia un aperto di . Sia un intero con

Una –forma differenziale è una scrittura del tipo:

dove

è una funzione differenziabile e:

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale , che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch’esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà.

In particolare,

il prodotto wedge è associativo,

il prodotto vettoriale no.

A volte, per brevità, i simboli sono omessi.

Esempi

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su . Una 1-forma in si scrive come

dove le sono opportune funzioni differenziabili.

Per esempio

le scritture seguenti sono 1-forme definite su .

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti. Una 2-forma in si scrive come

Per esempio

la scrittura seguente è una 2-forma su :

In generale

una -forma su si scrive sempre usando un unico addendo

dove è una funzione differenziabile.

Definizione come tensore

Una –forma è una sezione liscia della -esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile :

In altre parole, per ogni punto di è data una funzione multilineare antisimmetrica

dove è lo spazio tangente a in .

La funzione varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di .

Equivalentemente,

è un campo tensoriale che associa ad ogni punto di un tensore antisimmetrico di tipo .

Ad esempio,

una 1-forma è un campo tensoriale di tipo , cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideo

Se è un insieme aperto di , in ogni punto lo spazio tangente è identificato con .

La base canonica per induce quindi una base per lo spazio vettoriale del tipo

dove l’elemento rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica.

Quindi l’elemento è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

tramite dei coefficienti

che variano in modo liscio rispetto a .

La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio,

se allora

è lo spazio duale dei funzionali lineari su e è la base duale della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto un funzionale lineare.

Carte

Se è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto , ogni -forma è rappresentata come sopra.

La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebriche

Somma e prodotto per scalare

Due -forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova -forma. Una -forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare.

Con queste operazioni l’insieme delle -forme su un aperto forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esterno

Il prodotto esterno

di una -forma e di una -forma è una -forma.

L’operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno.

Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

La proprietà anticommutativa implica che

I coefficienti dei però commutano fra loro e con i .

Ad esempio,

Su una $n$ –varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo $\R^n$ , una forma differenziale $\omega$ ha una dimensione $k$ minore o uguale a $n$ .

Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come $k$ -forma.

Nel caso $k=0$ , la forma $\omega$ è un’ordinaria funzione.

la proprietà che caratterizza $\omega$ è la possibilità di effettuare l’integrale di $\omega$ su un qualsiasi oggetto geometrico $\Gamma$ , di analoga dimensione $k$ , di una generica $n$ –varietà differenziabile.

In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ , ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Sia $A$ un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ . Sia $k$ un intero con

Una $k$ –forma differenziale è una scrittura del tipo:

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale $\times$ , che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch’esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà.

A volte, per brevità, i simboli $\wedge$ sono omessi.

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su $A$ .
Una 1-forma in $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive come

dove le $a_{i}$ sono opportune funzioni differenziabili.

le scritture seguenti sono 1-forme definite su $\R^2$ .

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in $\R^3$ si scrive come

la scrittura seguente è una 2-forma su $\R^3$ :

una $n$ -forma su $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive sempre usando un unico addendo

dove $a(x_{1},...,x_{n})$ è una funzione differenziabile.

Una $k$ –forma è una sezione liscia della $k$ -esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile $M$ :

In altre parole, per ogni punto $x$ di $M$ è data una funzione multilineare antisimmetrica

dove $T_{x}M$ è lo spazio tangente a $M$ in $x$ .

La funzione $\omega (x)$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di $x$ .

$\omega$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto $x$ di $M$ un tensore antisimmetrico di tipo $(0,k)$ .

una 1-forma è un campo tensoriale di tipo $(0,1)$ , cioè una sezione del fibrato cotangente.

Se $M$ è un insieme aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ , in ogni punto lo spazio tangente $T_{x}(M)$ è identificato con $\mathbb {R} ^{n}$ .

La base canonica per $\mathbb {R} ^{n}$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale $\Lambda ^{k}((\mathbb{R} ^{n})^{*})$ del tipo

dove l’elemento $dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica.

Quindi l’elemento $\omega (x)$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

che variano in modo liscio rispetto a $x$ .

se $k=1$ allora

è lo spazio duale dei funzionali lineari su $\mathbb {R} ^{n}$ e ${\mathcal B}$ è la base duale $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto $x$ un funzionale lineare.

Se $M$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto $x$ , ogni $k$ -forma $\omega$ è rappresentata come sopra.

Due $k$ -forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova $k$ -forma. Una $k$ -forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare.

Con queste operazioni l’insieme delle $k$ -forme su un aperto $A$ forma uno spazio vettoriale.

di una $k$ -forma $\omega$ e di una $h$ -forma $\eta$ è una $(k+h)$ -forma.

I coefficienti dei $dx_{i}$ però commutano fra loro e con i $dx_{i}$ .

sono una 1-forma e una 2-forma su $\R^3$ ,

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ siano definiti come tensori.

Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale $\otimes$ , ma non è ad esso equivalente.

nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

L’anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo $k$ e $h$ , con un segno che però dipende dal prodotto $kh$ :

La derivata di una $k$ -forma è una $(k+1)$ -forma.

La derivata esterna $d\omega$ di una $k$ -forma differenziale

è la $(k+1)$ -forma

dove però $a,b$ sono scalari e non funzioni.

Una forma differenziale $\omega$ è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

Una $k$ -forma $\omega$ è invece esatta se esiste una $(k-1)$ -forma $\eta$ tale che

La forma $\eta$ è detta primitiva di $\omega$ .

Poiché $d^{2}\eta =0$ , ogni forma esatta è chiusa.

D’altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l’esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell’aperto $A$ di definizione.

A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se $X\subset \mathbb{R} ^{n}$ è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su $X$ è una forma differenziale esatta per ogni intero $p>0$ .

per ogni $i,j$ .

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l’aperto $A$ ).

La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell’aperto $A$ , ovvero dalla sua topologia.

Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta.

Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in $\mathbb {R} ^{n}$ .

è chiusa ma non esatta. L’aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un “buco”, ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb Z$ .

Le 1-forme nel piano $\R^2$ sono uno strumento fondamentale dell’analisi complessa.

Dopo aver identificato $\R^2$ con il piano complesso $\mathbb C$ , è possibile definire una 1-forma complessa

definita su un aperto $A$ del piano complesso.

Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f(z)dz$ risulta essere chiusa.

Inoltre $f(z)dz$ è esatta con primitiva $g(z)$ se e solo se $g(z)$ è anch’essa olomorfa con derivata complessa $g'(z)=f(z)$ pari a $f(z)$ .

è chiusa (perché $1/z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1/z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$ , ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso.

In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1/z$ , può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

che mostrano che l’esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f(z)dz$ .

La proprietà più importante che caratterizza una $k$ -forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell’aperto $A$ su cui è definita.

L’integrale di $\omega$ è indicato con il simbolo

Se $k=0$ , la forma è una funzione, $S$ è un’unione di punti e l’integrale di $\omega$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.