Derivata esterna
In geometria differenziale,
La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.
Definizione
La derivata esterna di una forma differenziale di grado 
è una forma differenziale di grado 
.
Derivata esterna di una funzione
Derivata esterna di una k-forma
La derivata esterna è definita come l’unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:
-
-
per ogni funzione liscia 
.
-
, con 
una p-forma.
La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché 
per ogni k-forma , mentre
la terza proprietà implica, come caso particolare, che
se è una funzione e una k-forma allora 
poiché le funzioni sono forme di grado zero.
Derivata esterna in coordinate locali
In un sistema di coordinate locale 
si considerino i differenziali 
, che costituiscono un insieme di uno-forme.
Dato un insieme di indici 
, con 
e 
, la derivata esterna di una k-forma:
su 
è definita nel modo seguente:
Per una generica k-forma:
con 
, la definizione è estesa per linearità.
La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:
allora si ha:
dove 
è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.
Formula invariante
Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma 
quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci 
:
-
![{\displaystyle +\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\hat {V))_{i},\ldots ,{\hat {V))_{j},\ldots ,V_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e66744d8bf9e6408f4d2773eebed4b0d80a713d)
dove ![{\displaystyle [V_{i},V_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4fa9d94f308bfbc9f34693c9e83a16de3f50f5)
sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l’omissione di un dato elemento:
In particolare, per 1-forme si ha:
![{\displaystyle d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2cc9cd78c02146f4beb99aabeb49087a4d1367)
dove 
e 
sono campi vettoriali.
La derivata esterna nel calcolo vettoriale
Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.
Gradiente
La sua derivata esterna è la 1-forma:
In altre parole, la forma 
agisce su ogni campo vettoriale 
restituendo in ogni punto il prodotto scalare di con il gradiente 
.
La 1-forma è una sezione del fibrato cotangente che produce un’approssimazione lineare locale di nello spazio cotangente ad ogni punto.
Divergenza
Un campo vettoriale 
su possiede una corrispondente (n-1)-forma:
dove 
denota l’omissione di tale elemento. L’integrale di 
su un’ipersuperficie è il flusso di attraverso tale ipersuperficie.
La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:
Rotore
Un campo vettoriale su possiede una corrispondente 1-forma:
Localmente, 
è il prodotto interno con , e l’integrale di lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto “contro” 
lungo il cammino.
Se n=3, la derivata esterna di è la 2-forma:
Segue …
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