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Archivio mensile:aprile 2021

Formula di Taylor

Formula di Taylor

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Pubblicato da salvatore di lucia su 25 aprile 2021 in MATEMATICA

Tag: formula di Taylor

Derivate Parziali

Derivate Parziali

In analisi matematica,

la derivata parziale è una prima generalizzazione del concetto di derivata di una funzione reale alle funzioni di più variabili.

Se per funzioni reali la derivata in un punto rappresenta la pendenza del grafico della funzione (una curva contenuta nel piano $\R^2$ ), la derivata parziale in un punto rispetto alla (ad esempio) prima variabile di una funzione $f(x,y)$ rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva ottenuta intersecando il grafico di $f$ (una superficie contenuta nello spazio $\R^3$ ) con un piano passante per il punto parallelo al piano $y=0$ .

Come tecnica di calcolo, la derivata parziale di una funzione rispetto a una variabile $x$ (lo stesso discorso può ripetersi per le altre variabili $y$ , $z$ ecc.) in un punto si ottiene derivando la funzione nella sola variabile $x$ , considerando tutte le altre variabili come se fossero costanti.

Definizione

Sia ${\displaystyle \mathbf {F} :E\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$

una funzione definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}.$

Dette $\{\mathbf e_i\}_{1 \le i \le n}$ e $\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}$

le basi canoniche di $\R^n$ e $\mathbb{R} ^{m}$ rispettivamente,

la funzione può essere scritta nel seguente modo:

\mathbf {F} (\mathbf {x} )=\sum _{i}^{m}F_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {u} _{i}\quad \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in E

La componente $i$ -esima della funzione è allora:

F_{i}(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} _{i}\quad 1\leq i\leq m.

Si definisce derivata parziale di $F_{i}$ rispetto alla variabile $x_j$ il limite:

{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j))}=\lim _{t\to 0}{\frac {F_{i}(\mathbf {x} +t\mathbf {e} _{j})-F_{i}(\mathbf {x} )}{t))=\lim _{t\to 0}{\frac {F_{i}(x_{1},x_{2},\dots x_{j}+t,\dots ,x_{n})-F_{i}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{t)).

Tale limite è a volte chiamato

limite del rapporto incrementale di $f$ nel punto $\mathbf {x}$ ,

e viene denotato anche con $D_jF_i$ La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.

Se una funzione è differenziabile in $\mathbf {x}$ ,

allora

tutte le derivate parziali esistono in $\mathbf {x}$ ,

e determinano completamente

l’applicazione lineare ${\displaystyle \mathbf {L} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ che permette di approssimare la funzione nel punto:

\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h})

dove $\mathbf r(\mathbf{h})$ si annulla all’annullarsi dell’incremento $\mathbf{h}$ .

La trasformazione $\mathbf{L}$ è rappresentata nella base canonica dalla matrice jacobiana, ed è chiamata derivata della funzione in $\mathbf {x}$ .

Il calcolo delle derivate parziali può essere svolto tramite il calcolo di derivate ordinarie.

Supponendo di voler calcolare $\partial f(\mathbf x) / \partial x_k$

si definisce $\phi(t)=f(x_1,x_2,\ldots,x_k+t,\ldots,x_n)$

Allora:

{\frac {\partial f}{\partial x_{k))}(\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t))(0).

La derivata parziale di $f$ in $x$ rispetto a $x_k$ è la derivata che si ottiene considerando la funzione come funzione della sola $x_k$ e considerando costanti le rimanenti.

Derivate parziali in R²

Si consideri una funzione $f$ con dominio in $\mathbb{R}^2$ , insieme formato da tutte le coppie ordinate $(x,y)$ con $x,y\in \mathbb {R} ,$ e con valori in $\mathbb {R} .$

Tale funzione in ogni punto $\left( {x_((\rm 0}{\rm ,)) y_{\rm 0} } \right)$ del proprio dominio può essere derivata sia rispetto a $x$ :

f_{x}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial f}{\partial x))(x_{0},y_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h))

sia rispetto a $y$ :

f_{y}(x_{0},y_{0})={\partial f \over \partial y}(x_{0},y_{0})=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x_{0},y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})}{k))

Se entrambi i limiti esistono finiti,

allora

la funzione $f$ si dice derivabile in $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ .

Il vettore che ha per componenti ${f_x}$ e ${f_y}$ è detto gradiente della funzione $f\;$ in $(x_0, y_0)$

e si indica

$\operatorname {grad} f=\nabla f=(f_{x},f_{y})$

Derivata direzionale

La derivata parziale è un caso particolare di derivata direzionale.

Usando questo concetto si può definire la derivata parziale come:

{\frac {\partial f}{\partial x_{k))}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ))(\mathbf {x} ),

con $\mathbf v=\mathbf e_k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$

ovvero il versore $k$ -esimo, cioè quel vettore, di modulo unitario, che ha tutte le componenti nulle tranne la $k$ -esima che è uguale a $1$ .

Notazioni

La notazione più comune fa uso del simbolo $\partial$ simile alla $d$ usata nella notazione di Leibniz per la derivata di funzioni di una variabile.

Altre notazioni per indicare la derivata di $f(x,y)$ rispetto alla prima variabile ( $x$ ) sono:

\partial_x f(x,y) \qquad f_x(x,y) \qquad \mathrm{D}_x f(x,y) \qquad \mathrm{D}^{(1,0)} f(x,y)

dove l’ultima notazione fa uso dei cosiddetti multiindici.

Derivate parziali di ordine superiore

Le operazioni di derivazione possono essere applicate anche alle funzioni ottenute come derivate parziali di una data funzione.

Si possono definire quindi derivate parziali di ordine superiore al primo.

Si distingue a questo punto tra derivate parziali pure, quelle ottenute derivando ripetutamente sempre rispetto alla stessa variabile, e derivate parziali miste, cioè quelle in cui le variabili di derivazione non sono sempre le stesse.

Un importante risultato, noto come teorema di Schwarz,

afferma che se le derivate miste di second’ordine sono continue allora l’ordine di derivazione è ininfluente (cioè derivare prima rispetto $x_i$ e poi rispetto $x_j$ porta allo stesso risultato di derivare prima rispetto a $x_j$ e poi rispetto $x_i$ ).

Continuità delle derivate parziali

Se una funzione $f(\mathbf {x} )$ ha le derivate parziali prime continue nel suo dominio in $D \subseteq \R^n$ ,

si dice che è

una funzione di classe $C^{1}(D)$ (si legge funzione di classe C uno in $D$ ).

In generale per un qualsiasi intero positivo $m$ se tutte le derivate parziali di ordine minore o uguale a $m$ della funzione sono continue nell’insieme di definizione $D$ , si dice che

$f$ è di classe $C^{m}(D).$

Un punto $P$ di una superficie di equazione $F (x, y , z) = 0$ , si dice punto semplice se le tre derivate parziali della funzione sono continue e non nulle.

Se invece

le derivate rispetto alle tre variabili sono nulle, oppure una non esiste, il punto si dice singolare.

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Pubblicato da salvatore di lucia su 24 aprile 2021 in MATEMATICA

Tag: Derivate Parziali

Derivata esterna

Derivata esterna

In geometria differenziale,

la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore.

La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

Definizione

La derivata esterna di una forma differenziale di grado $k$ è una forma differenziale di grado $k+1$ .

Derivata esterna di una funzione

Sia $f$ una funzione liscia (cioè una 0-forma).

La derivata esterna di $f$ è il differenziale $df$ di $f$ , ovvero l’unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale $X$ si abbia $df(X)=Xf$ , dove $Xf$ è la derivata direzionale di $f$ in direzione $X$ .

Derivata esterna di una k-forma

La derivata esterna è definita come l’unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:

$df$ è il differenziale di $f$ per $f$ funzione liscia.
$d(df)=0$ per ogni funzione liscia $f$ .
$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge d\beta$ , con $\alpha$ una p-forma.

La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché $d(d\alpha )=0$ per ogni k-forma $\alpha$ , mentre

la terza proprietà implica, come caso particolare, che

se $f$ è una funzione e $\alpha$ una k-forma allora $d(f\alpha )=df\wedge \alpha +f\wedge d\alpha$ poiché le funzioni sono forme di grado zero.

Derivata esterna in coordinate locali

In un sistema di coordinate locale $(x^{1},\dots ,x^{n})$ si considerino i differenziali $(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ , che costituiscono un insieme di uno-forme.

Dato un insieme di indici $I=(i_{1},\dots ,i_{k})$ , con $1\leq i_{p}\leq n$ e $1\leq p\leq k$ , la derivata esterna di una k-forma:

\omega =f_{I}{\text{d))x^{I}=f_{i_{1},i_{2}\cdots i_{k)){\text{d))x^{i_{1))\wedge {\text{d))x^{i_{2))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k))

su $\mathbb {R} ^{n}$ è definita nel modo seguente:

{\displaystyle {\text{d)){\omega }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I)){\partial x^{i))}{\text{d))x^{i}\wedge {\text{d))x^{I))

Per una generica k-forma:

{\displaystyle \omega =\sum _{I}f_{I}dx_{I))

con $I=(i_{1},\dots ,i_{n})$ , la definizione è estesa per linearità.

La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:

\omega =f_{I}{\text{d))x_{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x_{i_{k))

allora si ha:

{\text{d)){\omega }={\text{d))(f_{I}{\text{d))x^{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k)))

={\text{d))f_{I}\wedge ({\text{d))x^{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k)))+f_{I}{\text{d))({\text{d))x^{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k)))

={\text{d))f_{I}\wedge {\text{d))x^{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k))+\sum _{p=1}^{k}(-1)^{(p-1)}f_{I}{\text{d))x^{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{p-1))\wedge {\text{d))^{2}x^{i_{p))\wedge {\text{d))x^{i_{p+1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k))

={\text{d))f_{I}\wedge {\text{d))x^{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k))

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I)){\partial x^{i))}{\text{d))x^{i}\wedge {\text{d))x^{i_{1))\wedge \cdots \wedge {\text{d))x^{i_{k))

dove ${\displaystyle f_{I))$ è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

Formula invariante

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma $\omega$ quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci ${\displaystyle V_{0},...,V_{k))$ :

{\text{d))\omega (V_{0},...,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\left(\omega (V_{0},\ldots ,{\hat {V))_{i},\ldots ,V_{k})\right)

+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\hat {V))_{i},\ldots ,{\hat {V))_{j},\ldots ,V_{k})

dove $[V_{i},V_{j}]$ sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l’omissione di un dato elemento:

\omega (V_{1},\ldots ,{\hat {V))_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{1},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k})

In particolare, per 1-forme si ha:

d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])

dove $X$ e $Y$ sono campi vettoriali.

La derivata esterna nel calcolo vettoriale

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

Gradiente

Una funzione liscia $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ è una 0-forma.

La sua derivata esterna è la 1-forma:

\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i))}\,\mathrm {d} x^{i}=\langle \nabla f,\cdot \rangle

In altre parole, la forma $df$ agisce su ogni campo vettoriale $V$ restituendo in ogni punto il prodotto scalare di $V$ con il gradiente $\nabla f$ .

La 1-forma $df$ è una sezione del fibrato cotangente che produce un’approssimazione lineare locale di $f$ nello spazio cotangente ad ogni punto.

Divergenza

Un campo vettoriale $V=(v_{1},...,v_{n})$ su $\mathbb {R} ^{n}$ possiede una corrispondente (n-1)-forma:

\omega _{V}=v_{1}\;(\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})-v_{2}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}\cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n-1})

{\displaystyle =\sum _{p=1}^{n}{(-1)^{(p-1)}v_{p}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{p-1}\wedge {\widehat {\mathrm {d} x^{p))}\wedge \mathrm {d} x^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})))

dove ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {d} x^{p))))$ denota l’omissione di tale elemento. L’integrale di ${\displaystyle \omega _{V))$ su un’ipersuperficie è il flusso di $V$ attraverso tale ipersuperficie.

La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:

\mathrm {d} \omega _{V}=\operatorname {div} (V)\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})

Rotore

Un campo vettoriale $V$ su $\mathbb {R} ^{n}$ possiede una corrispondente 1-forma:

{\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\;\mathrm {d} x^{1}+v_{2}\;\mathrm {d} x^{2}+\cdots +v_{n}\;\mathrm {d} x^{n))

Localmente, ${\displaystyle \eta _{V))$ è il prodotto interno con $V$ , e l’integrale di ${\displaystyle \eta _{V))$ lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto “contro” $-V$ lungo il cammino.

Se n=3, la derivata esterna di ${\displaystyle \eta _{V))$ è la 2-forma:

{\displaystyle \mathrm {d} \eta _{V}=\omega _{\operatorname {rot} (V)))

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Pubblicato da salvatore di lucia su 23 aprile 2021 in MATEMATICA

Tag: Derivata esterna

Forma differenziale

Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili,

una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una $n$ –varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo $\R^n$ , una forma differenziale $\omega$ ha una dimensione $k$ minore o uguale a $n$ .

Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come $k$ -forma.

Nel caso $k=0$ , la forma $\omega$ è un’ordinaria funzione.

In generale,

la proprietà che caratterizza $\omega$ è la possibilità di effettuare l’integrale di $\omega$ su un qualsiasi oggetto geometrico $\Gamma$ , di analoga dimensione $k$ , di una generica $n$ –varietà differenziabile.

Il risultato di questa integrazione è indicato con

\int _{\Gamma }\omega

Pertanto,

una 1-forma è integrabile su una curva,

una 2-forma su una superficie,

e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell’analisi matematica,

e

in particolare in analisi complessa.

Definizione

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo.

Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l’algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente.

In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ , ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formale

Sia $A$ un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ . Sia $k$ un intero con

0\leqslant k\leqslant n.

Una $k$ –forma differenziale è una scrittura del tipo:

\omega =\sum _((1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n))a_((i_{1},\ldots ,i_{k))}(x)dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}

dove

a_{i_{1},\ldots ,i_{k)):A\to \mathbb {R}

è una funzione differenziabile e:

\wedge

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale $\times$ , che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch’esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà.

In particolare,

il prodotto wedge è associativo,

il prodotto vettoriale no.

A volte, per brevità, i simboli $\wedge$ sono omessi.

Esempi

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su $A$ .
Una 1-forma in $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive come

\omega =a_{1}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}+\ldots +a_{n}(x_{1},...,x_{n})dx_{n},\,\!

dove le $a_{i}$ sono opportune funzioni differenziabili.

Per esempio

le scritture seguenti sono 1-forme definite su $\R^2$ .

\omega _{1}=2dx-3dy,\quad \omega _{2}=e^{x}dx,\quad \omega _{3}=xydx-y^{2}dy.

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in $\R^3$ si scrive come

\omega =a(x,y,z)dx\wedge dy+b(x,y,z)dy\wedge dz+c(x,y,z)dx\wedge dz.

Per esempio

la scrittura seguente è una 2-forma su $\R^3$ :

\omega =2dx\wedge dy-xzdy\wedge dz.

In generale

una $n$ -forma su $\mathbb {R} ^{n}$ si scrive sempre usando un unico addendo

\omega =a(x_{1},...,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}

dove $a(x_{1},...,x_{n})$ è una funzione differenziabile.

Definizione come tensore

Una $k$ –forma è una sezione liscia della $k$ -esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile $M$ :

\omega :M\rightarrow \Lambda ^{k}(T^{*}(M)).

In altre parole, per ogni punto $x$ di $M$ è data una funzione multilineare antisimmetrica

\omega (x)\colon \underbrace {T_{x}M\times \cdots \times T_{x}M}_{k}\to {\mathbb {R))

dove $T_{x}M$ è lo spazio tangente a $M$ in $x$ .

La funzione $\omega (x)$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di $x$ .

Equivalentemente,

$\omega$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto $x$ di $M$ un tensore antisimmetrico di tipo $(0,k)$ .

Ad esempio,

una 1-forma è un campo tensoriale di tipo $(0,1)$ , cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideo

Se $M$ è un insieme aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ , in ogni punto lo spazio tangente $T_{x}(M)$ è identificato con $\mathbb {R} ^{n}$ .

La base canonica per $\mathbb {R} ^{n}$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale $\Lambda ^{k}((\mathbb{R} ^{n})^{*})$ del tipo

{\mathcal B}={\big \{}dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}\ |\ 1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n{\big \))

dove l’elemento $dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica.

Quindi l’elemento $\omega (x)$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

\omega =\sum _((1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n))a_((i_{1},\ldots ,i_{k))}(x)dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}

tramite dei coefficienti

a_((i_{1},\ldots ,i_{k))}(x)

che variano in modo liscio rispetto a $x$ .

La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio,

se $k=1$ allora

\Lambda ^{1}((\mathbb{R} ^{n})^{*})=(\mathbb{R} ^{n})^{*}

è lo spazio duale dei funzionali lineari su $\mathbb {R} ^{n}$ e ${\mathcal B}$ è la base duale $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto $x$ un funzionale lineare.

Carte

Se $M$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto $x$ , ogni $k$ -forma $\omega$ è rappresentata come sopra.

La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebriche

Somma e prodotto per scalare

Due $k$ -forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova $k$ -forma. Una $k$ -forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare.

Con queste operazioni l’insieme delle $k$ -forme su un aperto $A$ forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esterno

Il prodotto esterno

\omega \wedge \eta

di una $k$ -forma $\omega$ e di una $h$ -forma $\eta$ è una $(k+h)$ -forma.

L’operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno.

Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}\,\forall i,\,j

La proprietà anticommutativa implica che

dx_{i}\wedge dx_{i}=0.

I coefficienti dei $dx_{i}$ però commutano fra loro e con i $dx_{i}$ .

Ad esempio,

se

\omega =xdy-ydx,\quad \eta =xdx\wedge dz

sono una 1-forma e una 2-forma su $\R^3$ ,

il loro prodotto esterno è

\omega \wedge \eta =(xdy-ydx)\wedge (xdx\wedge dz)=x^{2}dy\wedge dx\wedge dz-xydx\wedge dx\wedge dz=-x^{2}dx\wedge dy\wedge dz.

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ siano definiti come tensori.

Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale $\otimes$ , ma non è ad esso equivalente.

Ad esempio,

nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

\omega \wedge \eta ={\frac 12}(\omega \otimes \eta -\eta \otimes \omega ).

Nel caso generale la definizione è un po’ più complicata:

\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{k}={\frac {1}{k!))\sum _((\sigma \in S_{k))}(\operatorname{sgn} \sigma )\omega _((\sigma 1))\otimes \dots \otimes \omega _((\sigma k)).

Proprietà

Il prodotto wedge è associativo:

per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura.

Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

h\wedge (f+g)=h\wedge f+h\wedge g.

L’anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo $k$ e $h$ , con un segno che però dipende dal prodotto $kh$ :

f\wedge g=(-1)^((kh))g\wedge f.

Derivata di una forma differenziale

La derivata di una $k$ -forma è una $(k+1)$ -forma.

Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna.

La derivata esterna $d\omega$ di una $k$ -forma differenziale

\omega =\sum _((1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n))a_((i_{1},\ldots ,i_{k))}(x)dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}

è la $(k+1)$ -forma

d\omega =\sum _((i=1))^{n}\sum _((1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n)){\frac {\partial a_((i_{1},\ldots ,i_{k)))){\partial x_{i))}(x)dx_{i}\wedge dx_((i_{1))}\wedge \ldots \wedge dx_((i_{k))}.

Proprietà

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è un’operazione lineare.

In altre parole,

d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu

dove però $a,b$ sono scalari e non funzioni.

Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^((((\rm {deg\,))}\omega ))(\omega \wedge d\eta ).

Infine,

la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

d^{2}=0

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse ed esatte

Una forma differenziale $\omega$ è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

d\omega =0

Ad esempio,

ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una $k$ -forma $\omega$ è invece esatta se esiste una $(k-1)$ -forma $\eta$ tale che

d\eta =\omega .

La forma $\eta$ è detta primitiva di $\omega$ .

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell’immagine della derivata esterna.

Poiché $d^{2}\eta =0$ , ogni forma esatta è chiusa.

D’altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l’esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell’aperto $A$ di definizione.

A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se $X\subset \mathbb{R} ^{n}$ è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su $X$ è una forma differenziale esatta per ogni intero $p>0$ .

Forme lineari

Una 1-forma differenziale

\omega =a_{1}dx_{1}+\ldots +a_{n}dx_{n},

è chiusa se e solo se vale l’uguaglianza

{\frac {\partial a_{j)){\partial x_{i))}={\frac {\partial a_{i)){\partial x_{j))}

per ogni $i,j$ .

Forme lineari e domini semplicemente connessi

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l’aperto $A$ ).

La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell’aperto $A$ , ovvero dalla sua topologia.

Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta.

Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in $\mathbb {R} ^{n}$ .

In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D’altra parte, la forma seguente

\omega ={\frac y{x^{2}+y^{2))}dx-{\frac x{x^{2}+y^{2))}dy

definita nell’aperto del piano

A=\mathbb{R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}

è chiusa ma non esatta. L’aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un “buco”, ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb Z$ .

Questa forma è nota come “vortice”, per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

Forme lineari e analisi complessa

Le 1-forme nel piano $\R^2$ sono uno strumento fondamentale dell’analisi complessa.

Dopo aver identificato $\R^2$ con il piano complesso $\mathbb C$ , è possibile definire una 1-forma complessa

f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy

a partire da una qualsiasi funzione

f:A\to {\mathbb C}.

definita su un aperto $A$ del piano complesso.

Si tratta di un’usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali.

Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f(z)dz$ risulta essere chiusa.

Inoltre $f(z)dz$ è esatta con primitiva $g(z)$ se e solo se $g(z)$ è anch’essa olomorfa con derivata complessa $g'(z)=f(z)$ pari a $f(z)$ .

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

f(z)={\frac 1z}dz

definita sull’aperto

A={\mathbb {C))\setminus \{0\}

è chiusa (perché $1/z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1/z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$ , ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso.

In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1/z$ , può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

f(z)dz={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2))}dx+{\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2))}dy=

=\left[{\frac {x}{x^{2}+y^{2))}dx+{\frac {y}{x^{2}+y^{2))}dy\right]+i\left[-{\frac {y}{x^{2}+y^{2))}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2))}dy\right]

che mostrano che l’esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f(z)dz$ .

Integrazione di una forma differenziale

La proprietà più importante che caratterizza una $k$ -forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell’aperto $A$ su cui è definita.

L’integrale di $\omega$ è indicato con il simbolo

\int _{S}\omega

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se $k=0$ , la forma è una funzione, $S$ è un’unione di punti e l’integrale di $\omega$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

\omega =\sum a_((i_{1},\dots ,i_{k))}(x)\,dx_((i_{1))}\wedge \cdots \wedge dx_((i_{k))}

Se $S$ ha una parametrizzazione del tipo

S(u)=(x_{1}(u),\dots ,x_{k}(u))

con $u$ variabile in un dominio $D$ di $\mathbb{R} ^{k}$ , l’integrale è definito come^[1]

\int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_((i_{1},\dots ,i_{k))}(S(u)){\frac {\partial (x_((i_{1))},\dots ,x_((i_{k))})}{\partial (u_((1)),\dots ,u_((k)))))\,du_{1}\ldots du_{k}

dove

{\frac {\partial (x_((i_{1))},\dots ,x_((i_{k))})}{\partial (u_((1)),\dots ,u_((k)))))

è il determinante dello jacobiano.

Con questa definizione, il risultato dell’integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno.

Per ottenere un segno univoco si deve fissare un’orientazione su $S$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l’orientazione.

Se la sottovarietà $S$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in $\R^3$ ), l’integrale su $S$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l’orientazione) che coprono $S$ a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di base

Valgono le proprietà seguenti.

Come tutti gli integrali, l’integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

$\int _((S_{1}\sqcup S_{2))}\omega =\int _((S_{1))}\omega +\int _((S_{2))}\omega .\,\!$

L’integrale è inoltre lineare (i coefficienti $a,b$ sono costanti):

$\int _{S}(a\omega +b\eta )=a\int _{S}\omega +b\int _{S}\eta .$

L’integrale cambia di segno se l’orientazione della varietà è modificata:

$\int _((-S))=-\int _{S}.\,\!$

Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l’integrazione.

Se $\omega$ è una $(n-1)$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta $M$ , vale la relazione

\int _{M}d\omega =\int _((\partial M))\omega .

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l’integrale di una $k$ -forma esatta su una varietà chiusa è nullo.

In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di linea

Una 1-forma $\omega$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva $\gamma$ . L’integrale di $\omega$ lungo $\gamma$ può essere calcolato con la formula seguente:

\int _((\gamma ))\omega =\int _((c))^((d))\left\langle \omega (\gamma (t)),{\frac {d\gamma }{dt))(t)\right\rangle dt

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l’orientazione).

Nel caso in cui l’aperto $A$ sia contenuto nel piano $\R^2$ , la forma è del tipo

\omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy

e l’integrale si calcola nel modo seguente:

\int _((\gamma ))\omega =\int _((c))^((d))[a(x,y)\cdot x^{\prime }(t)+b(x,y)\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt

L’integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta.

Valgono infatti i fatti seguenti.

Se $\omega$ è esatta, l’integrale di $\omega$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
Conseguentemente, se $\omega$ è esatta, l’integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio,

la funzione $1/z$ su ${\mathbb C}^{*}$ non è esatta, poiché

\int _{\gamma }{\frac 1z}=2\pi i

per ogni curva $\gamma$ avente indice di avvolgimento 1 con l’origine.

°°°°°

Segue …

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Pubblicato da salvatore di lucia su 22 aprile 2021 in MATEMATICA

Tag: Forma differenziale

Regole di differenziazione

Regole di differenziazione

In analisi matematica,

la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.

Definizione

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:

D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)

Le notazioni $D[f(x)]$ e $f'(x)$ indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali.

Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

{\mathbf x}(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t))\quad t\in \mathbb{R}

è un vettore di $\mathbb R^n$ le cui componenti sono funzioni derivabili:

{\mathbf x}'(t)=(x'_{1}(t),x'_{2}(t),\dots ,x'_{n}(t))

e

se $f$ è una funzione differenziabile in ${\mathbf x}(t)$ , allora la funzione composta:

$F(t)=f({\mathbf x}(t))$

è differenziabile nella variabile $t$ e si ha:

$F'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} (t))}{\partial x_{i))}x'_{i}(t)=\langle {\mathbf {\nabla } F(t)},{\mathbf {x} '(t)}\rangle =\langle {\mathbf {\nabla } f(\mathbf {x} (t))},{\mathbf {\mathbf {x} } '(t)}\rangle$

dove $\nabla f$ è il gradiente di $f$

e $<\cdot ,\cdot >$ è il prodotto scalare euclideo.

Ad esempio,

se $f$ è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale $(g,h)$ , cioè $f(g(t),h(t))$ , allora:

{\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial g}{dg \over dt}+{\partial f \over \partial h}{dh \over dt))

Inoltre, se $\mathbf f$ e ${\mathbf g}$ sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

J[({\mathbf f}\circ {\mathbf g})(x)]=J[{\mathbf f}({\mathbf g}(x))]\cdot J[{\mathbf g}(x)]

dove $\cdot$ è la moltiplicazione di matrici e $J[{\mathbf f}(x)]$ è la matrice jacobiana di $\mathbf f$ .

Dimostrazione

Sia, per non appesantire la notazione, $\Delta g:=g(x+h)-g(x)$ , da cui $g(x+h)=g(x)+\Delta g$ Definiamo ora

\omega (\Delta g)={\begin{cases}{\frac {f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{\Delta g))-f'(g(x))&{\mbox{se ))\Delta g\neq 0\\0&{\mbox{se ))\Delta g=0\end{cases))

È dunque

f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))=f'(g(x))\cdot \Delta g+\omega (\Delta g)\cdot \Delta g

Inoltre,

per l’ipotesi di derivabilità di $f$ , è

\lim _{\Delta g\to 0}\omega (\Delta g)=0

Esaminiamo ora il rapporto incrementale di $f(g(x))$

D[f(g(x))]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h))=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{h))=

=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(g(x))\cdot \Delta g+\omega (\Delta g)\cdot \Delta g}{h))

Spezzando la frazione,

abbiamo

\lim _{h\to 0}f'(g(x))\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h))+\lim _{h\to 0}\omega (\Delta g)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h))

E quindi passando al limite

D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)+0\cdot g'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)

cvd.

Dimostrazione con “o” piccolo

Si considerino due funzioni $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$

e

la funzione composta $H(x)=g\left(f(x)\right)$

allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:

$f(x+h)-f(x)=f'(x)h+o_{1}(h)\$
$g(y+k)-g(y)=g'(y)k-o_{2}(k)\$
$H(x+h)-H(x)=\divideontimes h-o_{3}(h)$

A questo punto si passa alla riscrittura di $H(x+h)-H(x)$ tenendo conto che $H(x)=g\left(f(x)\right)$ quindi si ha:

H(x+h)-H(x)=g(f(x+h))-g(f(x))\

Si ricorda che $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o_{1}(h)$ quindi si ha:

H(x+h)-H(x)=g(f(x)+f'(x)h+o_{1}(h))-g(f(x))\

Da cui si opera una sostituzione $f(x)=y$ ed $k=f'(x)h+o_{1}(h)$ e si scrive:

H(x+h)-H(x)=g(y+k)-g(y)=g'(y)k-o_{2}(k)=g'(f(x))\cdot (f'(x)h+o_{1}(h))-o_{2}(k)=g'(f(x))f'(x)h+g'(f(x))o_{1}(h)-o_{2}(k)

Da qui chiamo $\divideontimes =g'(f(x))f'(x)$ ed inoltre $o_{3}(h)=g'(f(x))o_{1}(h)-o_{2}(k)$

Il teorema è dimostrato

Osservazioni

Nella notazione di Leibniz, questo si risolve nell’identità

{\frac {df}{dx))={\frac {df}{dg))\cdot {\frac {dg}{dx))

che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il $dg$ si “semplificasse” nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.

Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:

D[(f\circ g\circ h)(x)]=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)

e così via.

Esempio

Sia $f(x)=\log x-3$ , $g(x)=x^{2}+3x$ , ${\displaystyle h(x)={x \over 2))$ Allora:

(f\circ g\circ h)(x)=\log \left[\left({x \over 2}\right)^{2}+3{x \over 2}\right]-3

e

{\displaystyle D[(f\circ g\circ h)(x)]={1 \over ({x \over 2})^{2}+3{x \over 2))\cdot \left(2{x \over 2}+3\right)\cdot {1 \over 2))

Derivate successive

L’estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno.

In particolare,

se $f, g$ possiedono tutte le derivate necessarie,

allora risulta:

{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2))}={\frac {d^{2}f}{dg^{2))}\left({\frac {dg}{dx))\right)^{2}+{\frac {df}{dg)){\frac {d^{2}g}{dx^{2))))

{\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3))}={\frac {d^{3}f}{dg^{3))}\left({\frac {dg}{dx))\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2))}{\frac {dg}{dx)){\frac {d^{2}g}{dx^{2))}+{\frac {df}{dg)){\frac {d^{3}g}{dx^{3))))

°°°°°

Segue …

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Pubblicato da salvatore di lucia su 21 aprile 2021 in MATEMATICA

Tag: Regole di differenziazione

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Applicazioni del piano complesso in se stesso Condizione Sufficiente coordinate polari Criteri di convergenza per serie a termini non negativi Criterio di Cauchy Definizione di derivata DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE Differenziale dominio di una funzione equazione differenziale Equazione di Laplace Equazioni e Disequazioni Trascendenti formula di Taylor funzione arcocosecante funzione arcocoseno funzione arcosecante funzione arcoseno funzione armonica funzione biunivoca Funzione concava Funzione convessa funzione esponenziale Funzione Iniettiva Funzione inversa funzione periodica Funzione ricorsiva funzione suriettiva Funzione Trigonometriche funzioni discontinue funzioni trigonometriche grafico di una funzione gruppo identità di Eulero Il Pensiero Matematico Insieme aperto Insieme chiuso Integrale di Lebesgue integrale di riemann Integrali curvilinei di funzioni complesse Integrali impropri contenenti un parametro integrazione per parti isometria Le Coniche Limite (+) infinito per x che tende a un valore (+) infinito limite di una funzione Limite di una Serie numerica con Excel Limiti Limiti calcolo mediante limiti notevoli matrici Numeri Complessi Numeri Reali Permutazione Polinomi polinomi a coefficienti reali Polinomio di Taylor Problema di Cauchy prodotto scalare prodotto vettoriale Punti singolari isolati punto di accumulazione punto isolato Radice ennesima di x∈R x≧0 regole di derivazione Schema generale di applicazione dell'integrale Serie Armonica Serie di Taylor simmetria assiale Spazio Metrico Completo teorema di Cauchy teorema di Lagrange teorema di Rolle trasformazioni lineari trigonometria vettori vettori linearmente dipendenti
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