Serie esponenziale

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Studio di una serie esponenziale con logaritmo

Soluzione

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Raggio di convergenza

In analisi matematica,

il raggio di convergenza è un numero non negativo (non necessariamente finito) associato a una serie di potenze a coefficienti reali o complessi che, intuitivamente, informa sul comportamento globale della serie in materia di convergenza.

Più in dettaglio,

il raggio di convergenza misura l’estensione dell’insieme aperto più grande su cui la serie converge.

Definizione

Sia  la serie di potenze definita sul campo complesso:

Sia  l’insieme di convergenza puntuale della serie, ossia

L’insieme contiene almeno il punto , dal momento che ; si definisce allora raggio di convergenza della serie il numero reale^]:

cioè la distanza sul piano complesso del numero più lontano da  in cui la serie converge puntualmente;

per come è definito,  esiste e non può essere negativo, ma può valere  nel caso in cui  non sia limitato.

Nel caso reale, e se la serie è centrata nell’origine,  è semplicemente l’estremo superiore dell’insieme .

Proprietà

Di seguito, scegliamo senza perdita di generalità .

Si può dimostrare che, se  è il raggio di convergenza della serie :

1. se ,  converge solo nell’origine;

2. se ,  converge assolutamente sul cerchio aperto  e converge uniformemente in ogni insieme compatto incluso in , mentre non converge in  se ;

3. se ,  converge assolutamente sull’intero piano complesso, e uniformemente su ogni suo sottoinsieme compatto.

La sola conoscenza del raggio di convergenza, quindi, determina quasi tutte le informazioni sulla convergenza della serie; tuttavia, la conoscenza di  non basta per conoscere il comportamento della serie sulla circonferenza esistono infatti serie che hanno il medesimo raggio di convergenza, ma comportamento diverso sulla frontiera .

Esempi

Per semplicità, si trattano esempi di serie definite sul campo reale. Le seguenti tre serie hanno il medesimo raggio di convergenza, ma diverso comportamento sulla frontiera del loro insieme di convergenza puntuale.

• La serie geometrica  così definita^[4]:

ha raggio di convergenza , e converge sull’insieme aperto .

La convergenza è assoluta su tutto l’insieme.

• La serie  così definita:

ha raggio di convergenza , e converge sull’insieme  (si può verificare la convergenza in  tramite il criterio di Leibniz).

La convergenza in  non è assoluta, mentre lo è all’interno di .

• La serie  così definita:

ha raggio di convergenza , e converge sull’insieme chiuso .

La convergenza è assoluta su tutto l’insieme.

Calcolo del raggio di convergenza

Esiste un metodo piuttosto semplice per calcolare il raggio di convergenza  di una serie, basato su un’analisi dei coefficienti della serie stessa.

Sia infatti  come sopra,

e

sia  la successione dei suoi coefficienti.

Sia  il limite superiore della successione :

 esiste sempre, e si ha evidentemente .

Si può dimostrare che:

1. se , allora 

2. se , allora 

3. se , allora 

Inoltre,

se esiste il limite  della successione  dei rapporti dei coefficienti consecutivi (che devono però essere in questo caso definitivamente non nulli), vale lo stesso risultato di cui sopra con  anziché .

In effetti è possibile dimostrare che vale la più generale relazione:

.

Teorema di Abel

Il teorema di Abel per le serie di potenze assicura che, se una serie di potenze è convergente in un punto della frontiera del suo insieme di convergenza, allora la serie è anche continua in quel punto.

Una seconda formulazione del teorema garantisce la convergenza uniforme su ogni intervallo compatto contenuto in , avendo per ipotesi la convergenza puntuale della serie nel punto .

In matematica,

il teorema di Abel o teorema della convergenza radiale di Abel mette in relazione il limite di una serie di potenze (reale o complessa) con la somma dei suoi coefficienti.

Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

Enunciato

Sia:

una serie di potenze con coefficienti reali o complessi e raggio di convergenza .

Se la serie numerica:

converge, allora:

purché il limite sia valutato su una successione di numeri reali, o più in generale all’interno di un angolo di Stolz, cioè una regione del disco aperto di centro l’origine e raggio  in cui:

per qualche  fissato (il teorema è valido per qualsiasi scelta di ).

Senza questa restrizione il limite può non esistere.

Nel caso speciale in cui tutti i coefficienti  siano reali positivi per ogni  il limite per  è valido anche quando la serie  non converge, ma in questo caso ambo i membri della formula sono .

Dimostrazione

Possiamo supporre .

Sottraendo una costante da , si può assumere che:

Sia Allora sostituendo , con semplici manipolazioni della serie si ha:

Dato , sia n sufficientemente grande da consentire  per tutti i . Si nota che:

quando  è all’interno dell’angolo di Stoltz.

Se  è abbastanza vicino a 1 si ha:

in modo che  quando  è nell’angolo di Stoltz ed è anche abbastanza vicino a 1.

Applicazioni

Se una serie di potenze:

centrata in  converge in un punto , allora essa ha raggio di convergenza  almeno:

Il teorema consente di valutare diverse serie in forma chiusa.

Ad esempio,

quando  si ottiene:

integrando la serie di potenze geometrica uniformemente convergente termine a termine sull’intervallo . In questo modo la serie  converge a  per il teorema di Abel.

In modo simile,  converge ad 

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Serie di potenze

Criteri di convergenza

Utili per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze

1)Criterio di D’Alambert

2) Criterio di Cauchy-Hadamard

3) Teorema di Abel

4) Teorema di convergenza per le serie di potenza

Insieme (o Intervallo) di convergenza

Questo Teorema ci dice che l’insieme di convergenza Ι di una serie di potenze é un intervallo di centro x_o (centro della serie) che:

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Serie di potenze con Numero di Nepero

Il raggio di convergenza é R=1 e quindi per il teorema … possiamo affermare che la serie

converge puntualmente per ogni x tale che |x|<1

non converge in alcun punto x per cui |x|>1

Nulla possiamo dire agli estremi.

Per far ciò dobbiamo studiare il carattere delle due serie numeriche:

Esempio 01