La Serie Telescopica

Consideriamo la serie detta serie telescopica 

in questo caso la successione ha come termine generale

(infatti  ),

quindi il carattere di una tale serie é determinato da quello della successione

nel caso tale successione converga,

la somma della serie é ovviamente

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Esempio.-

Serie di Mengoli

La serie  é un esempio di serie telescopica

poiché

questo vuol dire che quindi Semplificando i termini rimane solo ovvero il primo e l’ultimo termine.- applicando il limite avremo Cioè

la serie converge ad 1 ( la sua somma é 1 ) .-

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Si chiamano telescopiche le serie in cui c’è questo fenomeno di cancellazione, e il nome é questo poiché si accorciano poi come quando si chiude un telescopio.-

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Segue …

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Δ

Serie telescopica

L’espressione “serie telescopica” è un termine informale con cui si indica una serie

i cui termini appaiono nella forma

 

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione  

 

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione  , dato che, a questo punto, risulta l’unica operazione non banale:

 

Esempi

• Un tipico esempio è la serie di Mengoli:

 

Si può dimostrare che la somma di questa serie è   infatti

 

cioè si tratta di una serie telescopica con   e quindi

 

• Altro esempio è la serie geometrica:

 

 

da cui si dimostra subito che se   la serie converge a  

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