equazioni lineari del primo ordine : Lezione 2
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In questa lezione vediamo
le equazioni lineari del primo ordine,
il teorema di struttura.
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equazione differenziale
se la funzione è di una sola variabile e l’equazione presenta soltanto derivate ordinarie
la funzione è a più variabili e l’equazione contiene derivate parziali della funzione stessa
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Equazioni lineari del primo ordine
Un’equazione differenziale lineare del primo ordine è scritta nella seguente forma:
Sappiamo che la y dipende da x (quindi bisognerebbe scrivere y(x) e y'(x)) e che
l’obiettivo è calcolare la y.
Inoltre
a(x) e p(x) devono essere continue in un intervallo.
Per trovare le soluzioni di questo tipo di equazione consideriamo due casi separati:
(caso 1) il caso in cui p(x) è nullo
e
(caso 2) il caso in cui p(x) non è nullo
Soluzione: caso 1
Come primo caso ipotizziamo che p(x)=0.
In tal caso l’equazione si dice omogenea.
Per risolvere l’equazione notiamo che, con p(x)=0, essa risulta:
Otteniamo quindi un’equazione a variabili separabili che possiamo facilmente risolvere con quello che abbiamo visto nella Lezione 1.
Ricordiamo brevemente il metodo:
come prima cosa si cercano le soluzioni costanti; successivamente si “separano” le variabili (cioè si tiene in un membro quello che dipende da x e nell’altro membro quello che dipende da y) e si integrano entrambi i membri.
Troviamo le soluzioni costanti imponendo y=k, quindi y’=0.
C’è quindi una soluzione costante, ovvero y=0.
Adesso è giunta l’ora di separare le variabili:
Ricordiamo che
l’integrale di 1/y è il ln(|y|).
L’integrale di a(x) invece lo chiameremo A(x).
Proseguiamo con i conti mettendo anche un “+c” aggiuntivo dovuto agli integrali.
Dopo spieghiamo perché i conti vengono così.
Per passare dalla prima alla seconda riga abbiamo eliminato il logaritmo usando l’esponenziale come facevamo ai bei tempi di analisi 1.
Poi con le proprietà delle potenze sappiamo che se c’è la somma degli esponenti (in questo caso A(x)+c) possiamo fare una moltiplicazione tra due esponenziali.
Abbiamo poi posto c’ = e^c.
Questo è un passaggio che serve solo per migliorarci la visuale.
Bisogna stare attenti:
c’ è un’esponenziale, quindi è sempre maggiore di 0 (c’>0).
Per togliere il modulo basta aggiungere un “±” al secondo membro.
Poi abbiamo posto c” = ±c’.
Abbiamo quindi detto che c’ deve essere positivo.
Siccome c” è ±c’, esso può essere positivo o negativo.
Però non può essere nullo: c” ≠ 0.
Ciò è dovuto al fatto che c’ è sempre positivo ma non è nullo, quindi anche ±c’ non sarà nullo.
La morale è che abbiamo
una soluzione costante e un altro insieme di soluzioni non costanti:
Da notare che
la soluzione costante può essere tranquillamente calcolata partendo da quella non costante e ponendo c” = 0.
Questo significa che possiamo scrivere che
la soluzione del caso 1 (ovvero p(x)=0) è la seguente:
soluzione: caso 2
Cerchiamo le soluzioni dell’equazione lineare del primo ordine con p(x) ≠ 0.
Per trovare queste soluzioni utilizzeremo il metodo di variazione delle costanti.
Questo metodo consiste nel far variare le costanti (che scoperta!).
Abbiamo già trovato la soluzione dell’equazione omogenea (caso 1, quello con p(x)=0).
Essa dipende da una costante c”.
Con il metodo di variazione delle costanti ipotizziamo che questa soluzione vada bene anche quando p(x) ≠ 0.
A questo punto però variamo le costanti:
non scriviamo più c”, bensì scriviamo z(x),
cioè qualcosa che varia al variare della x.
Come vedete, abbiamo scritto z(x) e abbiamo ipotizzato che la y che otteniamo sia soluzione dell’equazione differenziale lineare del primo ordine.
Il nostro obiettivo sarà calcolare la z(x).
In pratica noi abbiamo ipotizzato che la soluzione dell’equazione sia simile a quella che abbiamo trovato con l’omogenea, cioè sia un’esponenziale.
Se la y che abbiamo scritto è soluzione dell’equazione, allora la verifica:
se “buttiamo dentro” la y che abbiamo trovato, l’equazione deve essere valida.
Nella y e nella y’ dell’equazione differenziale, allora, mettiamo rispettivamente
la y che abbiamo scelto noi e la sua derivata.
Adesso ci divertiamo a fare la derivata del primo membro.
ATTENZIONE:
dobbiamo derivare un prodotto, quindi useremo la regola del prodotto.
A secondo membro scriveremo sempre lo stesso pezzo perché per ora non ci interessa:
il nostro obiettivo è fare la derivata presente al primo membro.
Notate qualcosa di magico?
Cos’è A'(x)?
Sappiamo che A(x) è l’integrale di a(x), quindi A'(x) è la derivata dell’integrale di a(x).
Siccome la derivata e l’integrale sono due operazioni inverse, “si eliminano”:
A'(x) è semplicemente a(x).
Quindi ci sono due termini uguali, che si eliminano.
A questo punto il nostro obiettivo qual è?
E’ calcolare la z(x)
perché così poi noi sappiamo già che y dipende dalla z(x) e ci basterà sostituire quello che abbiamo trovato (adesso lo facciamo).
Per trovare z(x) scriviamo z'(x) come dz/dx.
In questo modo possiamo separare le variabili e integrare.
Abbiamo messo in evidenza la costante k che si ottiene dall’integrazione.
Adesso abbiamo finito perché sappiamo già com’è fatta la y
(l’abbiamo scritto all’inizio) e quindi possiamo scrivere la soluzione:
Scrivendola un po’ meglio otteniamo
la soluzione delle equazioni lineari del primo ordine:
NOTA BENE:
abbiamo trovato la soluzione.
Notate qualcosa di mega galattico?
Il secondo termine della somma (quello con la k e l’esponenziale) è la soluzione dell’equazione omogenea, cioè la soluzione del caso 1 che abbiamo fatto.
L’unica differenza è che invece che esserci scritto c” c’è scritto k,
ma sono due costanti e possiamo chiamarle come vogliamo.
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Questo ci porta al teorema di struttura.
Segue …
Tag: equazione differenziale, Equazioni lineari del primo ordine
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