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ln questa lezione studieremo:
il problema di Cauchy,
il teorema di Cauchy in forma locale
il teorema di Cauchy in forma globale.
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Problema di Cauchy
Il problema di Cauchy è la ricerca della soluzione di un’equazione differenziale che soddisfi certe condizioni iniziali.
Un problema di Cauchy per un’equazione differenziale del primo ordine
ha la seguente forma:
I due sistemi sono equivalenti, si tratta solo di scrivere in modo diverso l’equazione differenziale: nel primo caso c’è la y’ isolata al primo membro, mentre nel secondo caso non c’è (è inglobata in una funzione che chiamiamo G).
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esempio 1
Tanto per farvi capire il concetto proviamo a risolvere il seguente problema di Cauchy:
Soluzione :
Risolviamo prima l’equazione differenziale
e
poi per trovare la costante che ci sarà useremo la condizione y(0)=1.
Intanto è
un’equazione a variabili separabili:
dobbiamo calcolare
la soluzione costante e poi quella generica.
La soluzione costante si ottiene mettendo y=k, quindi y’=0.
Si ottiene un’equazione molto semplice: 0=2xk^2, che è risolta per k=0.
Quindi
y = 0 sarà la soluzione costante.
Per trovare la soluzione generica separiamo le variabili e integriamo, come siamo abituati a fare:
Ora come vedete c’è una costante “c” che deriva dal fatto che abbiamo integrato.
Per capire quanto vale c usiamo la condizione iniziale che ci hanno fornito:
Con questa informazione possiamo scrivere
la soluzione del problema di Cauchy:
ATTENZIONE:
la soluzione costante che abbiamo trovato non è soluzione del problema di Cauchy,
ma è solo soluzione dell’equazione differenziale.
Una soluzione del problema di Cauchy deve essere tale per cui quando mettiamo x=0 otteniamo 1 (ce lo dice la condizione).
Siccome la soluzione costante è y=0, anche se poniamo x=0 otteniamo sempre 0 quindi non va bene.
Nella soluzione generica dell’equazione differenziale invece riusciamo a far quadrare i conti utilizzando la costante c.
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Fine del teorema.
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Ora cominciamo con la spiegazione:
intanto il concetto è che il teorema dice che
se valgono due condizioni allora esiste un’unica y che è soluzione del problema di Cauchy (in un determinato intervallo, cioè per determinati valori di x).
Il teorema, quindi, vi sta dando le condizioni per poter dire con sicurezza che
esiste una soluzione (unica) al problema di Cauchy.
Ora analizziamo bene le condizioni.
Come vedete, viene fuori un rettangolo.
All’interno del rettangolo, cioè per quei particolari valori di x e y, la funzione F deve esistere (e nell’ipotesi si dice che deve essere continua).
L’intervallo rettangolare appena disegnato si indica in formule scrivendo così:
In pratica se voi fate il rapporto incrementale rispetto ad y (cioè fatela divisione tra F(x, y_1)-F(x, y_2) e y_1-y_2) ottenete un numero minore di L, cioè avete un rapporto incrementale limitato.
Sappiamo che
il rapporto incrementale indica la derivata quindi in un certo senso state facendo la derivata rispetto ad y della funzione F(x, y) e vedete che essa è limitata, cioè non va ad infinito.
Questo significa
lipschitziana rispetto ad y.
Siccome la definizione di funzione lipschitziana è un pò brutta e noi per applicare il teorema dovremmo verificarla ogni volta, abbiamo una bella proposizione che ci aiuta.
Nel caso dell’esempio 1 abbiamo
F(x, y) = 2xy^2.
Rispetto ad y, tale funzione è C1 perché è un polinomio:
infatti la x va considerata costante dato che vogliamo controllare se è C1 rispetto ad y.
Questo ci fa avere un polinomio (di secondo grado perché c’è y^2) che è sempre derivabile con derivata continua.
La sua derivata parziale rispetto ad y, infatti, è 4xy che è continua.
Il fatto F(x, y) sia C1 e il fatto che essa sia continua in tutto il dominio (quindi anche in un intervallo rettangolare) fa sì che noi possiamo applicare il teorema di Cauchy e dire che di sicuro esiste una soluzione al problema di Cauchy. In effetti noi l’abbiamo trovata la soluzione.
Tale soluzione, dice il teorema, è definita in un intervallo (xo – δ, xo + δ).
Cosa vuol dire che la soluzione è definita in quell’intervallo?
Cominciamo dicendo che
xo è il punto in cui c’è la condizione iniziale, cioè nel nostro caso 0 perché avevamo y(0)=1.
Se noi disegniamo la soluzione che abbiamo trovato vediamo che c’è una parte di funzione compresa tra -1 e 1, cioè definita in un intervallo (0-1,0+1):
Il teorema ci sta dicendo che c’è una sola funzione che verifica il problema di Cauchy e tale funzione è derivabile in un intervallo.
Siccome noi l’abbiamo trovata, con il grafico possiamo vedere che effettivamente tale funzione è derivabile tra -1 e 1, come prevedeva il teorema.
In questo caso, quindi,
xo=0 e δ= 1.
Questo era solo un esempio, è una cosa teorica e la teniamo teorica.
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Teorema di Cauchy:
forma globale
Nella forma locale la soluzione è definita in un intervallo (xo – δ, xo + δ).
Ciò significa che gli estremi non sono compresi.
Nella forma globale sono compresi anche gli estremi.
Ora diciamo il teorema di Cauchy in forma globale e poi lo spieghiamo.
Per la spiegazione ci manca la definizione di funzione sublineare quindi ora la diciamo.
Non indagheremo su questo teorema.
Entrambi i teoremi di Cauchy sono argomenti teorici che non sono fondamentali per gli esercizi.
Il teorema di Cauchy in forma globale ci fornisce le condizioni per dire che esiste un’unica soluzione globale al teorema di Cauchy, tutto qua.
Concludiamo così la lezione perché nella prossima lezione cominceremo a parlare del calcolo vettoriale e delle curve.
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Segue …
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