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In questa lezione vediamo:
il cambio di variabile per gli integrali tripli
(ovvero le coordinate sferiche e le coordinate cilindriche).
Teorema del cambio di variabile (integrali tripli)
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Prima di cominciare con il teorema diciamo che la definizione di diffeomorfismo è uguale a quella vista nella Lezione 20 (quando abbiamo parlato di cambio di variabile per integrali doppi).
Dato
un insieme regolare Ω ⊆ R3
e
una funzione f ∈ C(Ω), definiamo la seguente funzione:
Se la funzione Φ è un diffeomorfismo
allora:
La matrice J è la matrice jacobiana.
Come vedete, è molto simile al teorema del cambio di variabile per gli integrali doppi (Lezione 20).
Ora vediamo la spiegazione.
In pratica
il teorema ci dà un metodo per fare un cambio di variabile.
Ci dice che dobbiamo prendere
una funzione Φ che è definita in modo tale da avere
x=g(u, v, w),
y=h(u, v, w)
z=m(u, v, w)
e
se Φ è un diffeomorfismo
allora
possiamo fare il cambio di variabile:
al posto di x, y e z che erano nella funzione f(x, y, z) scriviamo g(u, v, w), h(u, v, w) e m(u, v, w);
inoltre
nell’integrale dobbiamo moltiplicare per il modulo del determinante della matrice jacobiana di Φ.
ATTENZIONE:
per il calcolo della jacobiana il teorema dice che dobbiamo avere x, y, z in funzione di u, v, w cioè dobbiamo fare in modo di trovare x=…, y=…, z=… e trovare da quelle la matrice jacobiana.
per esempio
se avete u=2x dovete trovarvi la x e poi calcolare la matrice jacobiana: x=u/2 e ora si fa il calcolo.
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Per capire un po’ come funziona il cambio di variabile con gli integrali tripli andiamo a vedere
i due cambi di variabili più frequenti:
le coordinate sferiche
e
le coordinate cilindriche.
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Coordinate sferiche
Corrispondono alle coordinate polari negli integrali doppi.
Vediamo un disegno per capire il capire il senso delle coordinate sferiche e poi diamo le formule:
Il punto (x, y, z) viene identificato grazie ad un raggio ρ e a due angoli (θ e φ).
Per esempio,
per calcolare la coordinata x bisogna fare ρ sin(θ) per trovare il segmento OA
e poi
cos(φ),
quindi
si ottiene x=ρsin(θ)cos(φ).
Le coordinate sferiche sono le seguenti:
Questo NON è un diffeomorfismo perché, come accadeva per le coordinate polari negli integrali doppi, l’insieme Ω’ (cioè quello che definisce ρ, θ e φ) non è aperto.
Per farlo diventare un diffeomorfismo basta togliere gli “=” dalle definizioni:
ρ > 0, θ ∈ (0, π), φ ∈ (0, 2π).
Così è un diffeomorfismo e ora non ci resta che calcolare
il determinante della matrice jacobiana:
Abbiamo solo svolto un bel po’ di conti.
Da notare che sin(θ)>0 di sicuro perché abbiamo preso θ ∈ (0,π).
Ciò significa che il modulo del determinante non farà niente al determinante (perché è già di sicuro positivo).
Possiamo quindi scrivere
il cambio di variabile con le coordinate sferiche:
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Ora vediamo un esempio per fissare subito i concetti.
esempio 1
Cerchiamo di calcolare l’integrale triplo di z in dx dy dz,
fatto sul seguente insieme:
La prima disequazione indica che stiamo facendo l’integrale su una sfera,
solo che non sarà una sfera “intera” perché c’è anche un’altra disequazione.
Quando dovete integrare su cose che assomigliano ad una sfera è meglio usare le coordinate sferiche.
Usiamo quindi le coordinate sferiche e cerchiamo di trovare il nuovo insieme di integrazione sostituendo tali coordinate nell’insieme Ω.
Le due disequazioni diventano:
La prima disequazione si ottiene raccogliendo un pò e notando che cos^2(α)+sin^2(α)=1.
Nella seconda disequazione, invece, abbiamo utilizzato l’equazione trigonometrica fondamentale (quella appena scritta) solo sotto la radice.
Ora facciamo la radice ma ricordiamoci che la radice dà come risultato il modulo di ρsin(θ) perché funziona sempre così con le radici.
A questo punto però, ricordando come vengono definite le variabili nel cambio di coordinate,
sappiamo che ρ>0 (per definizione) e sin(θ)>0 (perché θ è compreso tra 0 e π) quindi il modulo possiamo toglierlo:
La disequazione strana cos(θ)>sin(θ) si risolve guardando i grafici di coseno e seno e vedendo che il coseno sta sopra al seno solo nell’intervallo che abbiamo scritto (perché θ ∈ (0,π) quindi dobbiamo prendere solo quel pezzo).
A questo punto abbiamo gli estremi di ρ e di θ.
E φ?
Siccome non abbiamo trovato condizioni su di lui, teniamo quelle che ci sono quando definiamo le coordinate sferiche: φ ∈ (0,2π).
Facciamo quindi il cambio di coordinate:
A questo punto non ci resta che svolgere i conti:
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Coordinate cilindriche
Vediamo un disegno per capire il capire il senso delle coordinate cilindriche e poi diamo le formule:
C’è il punto P che viene espresso per mezzo di tre coordinate: ρ, φ, t.
La coordinata t non l’abbiamo scritta perché corrisponde alla lettera z, ovvero è l’altezza del cilindro.
Le equazioni delle coordinate cilindriche sono le seguenti:
Come prima, calcoliamo
la matrice jacobiana e il suo determinante:
A questo punto è fatta:
scriviamo il cambio di variabile:
Come vedete, siccome per definizione ρ>0, il modulo del determinante (cioè il modulo di ρ) rimane ρ.
Abbiamo finito un’altra entusiasmante lezione.
Nella prossima vedremo i solidi di rotazione e le formule per calcolare il baricentro di una superficie.
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iMathematica 
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