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In questa lezione vediamo:
l’area della calotta,
l’integrale di superficie,
l’integrale di flusso.
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La calotta
Intanto specifichiamo che non stiamo parlando di calotte sferiche.
Una calotta è una parte di una superficie.
area della calotta
Data una calotta σ: K⊆ R^2 → R^3 regolare,
l’area del suo sostegno (cioè del suo grafico) è:
In questa formula
il sostegno è chiamato Σk
e
il vettore N è il vettore normale alla calotta.
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Integrale di superficie
Vi ricordate gli integrali curvilinei di prima specie? (Lezione 7)
Erano quelli che utilizzavamo con le curve:
facevamo l’integrale della funzione f moltiplicata per la norma di r‘
(la curva si chiamava r).
Cosa succede se invece di avere una curva avete una calotta?
Avete
gli integrali di superficie.
Ricordiamo che la calotta è una parte di una superficie.
Data una calotta σ: K⊆ R^2 → R^3 regolare con sostegno Σk e data una funzione f continua e limitata su Σk, l’integrale di superficie su Σk è:
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esempio 1
Calcoliamo l’area della porzione di superficie z=x· y/2
con
(x, y)∈ K = {(x, y) t.c. x2+y2 ≤ 12}.
Intanto parametrizziamo questa superficie
(che è una calotta).
La cosa più furba è fare così:
Questo perché ci hanno già fornito la z in funzione di x e di y quindi la cosa più furba è porre x=u e y=v.
La nostra z la chiamiamo
z = u · v/2 = f(u, v).
Nei conti seguenti indicheremo con fu e fv rispettivamente:
la derivata parziale di z rispetto ad u:
e
la derivata parziale di z rispetto a v:
Per calcolare l’area sappiamo che dobbiamo trovare il vettore normale, che per definizione è:
A questo punto dobbiamo fare l’integrale doppio:
utilizzeremo le coordinate polari perché l’insieme K è un bel cerchio.
Scriviamo quindi le coordinate polari e poi facciamo l’integrale:
Come vedete, abbiamo scritto le coordinate polari e poi sostituendole nell’insieme K abbiamo trovato gli estremi per ρ.
Siccome non abbiamo trovato quelli di θ utilizzeremo 0 e 2π.
Ora possiamo fare l’integrale ricordandoci il determinante della matrice jacobiana (che è ρ).
Nei conti seguenti abbiamo chiamato K’ l’insieme nuovo (il dominio di ρ e θ) e con Σk il sostegno della calotta:
CI siamo:
basta solo svolgere
l’integrale.
Per fare quello in dρ sfrutteremo il fatto che abbiamo (1+ρ2/4)1/2 e la derivata di 1+ρ2/4 è ρ/2.
Abbiamo fatto tanti conti ma è un esercizio utile.
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Integrale di flusso
Quando avevamo un campo vettoriale e una curva avevamo visto gli integrali curvilinei di seconda specie (Lezione 24).
Se invece abbiamo un campo vettoriale e una superficie cosa succede?
Abbiamo
gli integrali di flusso.
Data una calotta σ: K⊆ R^2 → R^3 regolare
e
dato
un campo vettoriale F: Ω⊆ R^3 → R^3 con Ω insieme aperto tale che σ(K)⊆ Ω,
l’integrale di flusso del campo F attraverso σ
è:
ATTENZIONE:
il vettore normale N può essere entrante o uscente.
L’integrale di flusso fatto con vettore normale entrante è opposto
(cioè ha un “-” davanti)
all’integrale di flusso fatto con vettore normale uscente.
Una proprietà dell’integrale di flusso è la seguente:
l’integrale di flusso attraverso una superficie regolare a tratti
(e quindi formata da diverse superfici unite insieme)
è la somma degli integrali di flusso fatti sulle singole superfici.
Ci fermiamo qui.
La prossima lezione sarà l’ultima:
vedremo
il teorema di Stokes
e
il teorema della divergenza.
Segue …
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