I teoremi e le proprietà che seguono sono relativi a funzioni che ammettono limite (sia finito che infinito) per x che tende ad un numero finito x_o oppure per x che tende ad infinito.
Per semplicità, li enunceremo e li dimostreremo nel caso in cui la funzione f (x) considerata ammetta limite finito per x che tende ad un numero finito x_o.
Si ha che
![\[\lim_{x\to x_0} f(x) = l\]](https://cosedimatematica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff0dbb6897287599479f314bb777a99c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
se e solo se
![\[\lim_{x\to x_0^+} f(x) = l \wedge \lim_{x\to x_0^-} f(x) = l .\]](https://cosedimatematica.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d7f815e731dc7da974d1458525bafde_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il teorema di unicità del limite è un teorema di matematica, e più precisamente di analisi.
Assume forme diverse a seconda dei contesti, ed in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti distinti.
Si applica soprattutto a successioni e funzioni.
Successioni
Enunciato
Il teorema di unicità del limite per le successioni asserisce che
Una successione di numeri reali non può avere due limiti distinti.
In altre parole, se la successione ha un limite, questo è unico.
Dimostrazione
Supponiamo che siano limiti (finiti; in verità, si può facilmente eliminare tale restrizione) della successione .
Mostreremo che .
Per la definizione di limite,
per ogni esistono ed tali che per ogni è vera , e
per ogni è vera .
Sia il massimo tra e .
Allora per ogni abbiamo
per la disuguaglianza triangolare.
Quindi per ogni , e quindi .
Quindi
Generalizzazioni
Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi successione di punti in uno spazio metrico.
Più in generale, vale in qualsiasi spazio topologico di Hausdorff.
Funzioni
Enunciato
Il teorema di unicità del limite per le funzioni asserisce che
Una funzione definita su un intervallo aperto dei numeri reali non può avere due limiti distinti in un punto di accumulazione per .
In altre parole, se la funzione ha limite in , questo è unico.
Dimostrazione
Supponiamo che siano limiti della funzione in . Mostreremo che , ragionando per assurdo e supponendo quindi che e siano distinti.
Allora esistono due intorni di e di disgiunti.
Per definizione di limite, esistono due intorni e di per cui vale:
-
appartiene a per ogni in diverso da ,
-
appartiene a per ogni in diverso da .
L’insieme è un altro intorno di , quindi contiene un punto di diverso da perché è punto di accumulazione per Per questo punto, è contemporaneamente in e , che però sono disgiunti: questo è assurdo.
Generalizzazioni
Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi funzione fra spazi metrici, come ad esempio lo spazio euclideo o un qualsiasi suo sottoinsieme.
Più in generale, vale per funzioni fra spazi topologici, con l’ipotesi che il codominio sia di Hausdorff.
Osservazione
L’ipotesi nell’enunciato generale che il codominio sia uno spazio di Hausdorff (come con l’usuale topologia euclidea) è la chiave di tutto il teorema.
Infatti in uno spazio non di Hausdorff in generale non vale l’unicità del limite. Basti vedere quest’esempio:
Sia con la topologia euclidea,
mentre con la topologia della semicontinuità inferiore, cioè i cui aperti sono le semirette destre;
sia .
Allora la funzione ammette infiniti limiti,
in particolare:
-
per ogni .
per ogni 
Infatti,
scelto un qualsiasi , i suoi intorni sono gli insiemi del tipo , con > 0, dunque essi contengono l’immagine di un qualsiasi intorno dello 0 dato secondo la topologia euclidea, cioè degli intervalli , restringendo opportunamente il raggio .
![{\displaystyle [-\varepsilon ,\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0cdf7c5d5d8f4048ab95ea906ff07e95837d0d4)
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