l teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica.

Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l’oggetto che vi converge è sempre positivo “da un certo punto in poi” o in un “certo intorno”.

Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Successioni

Enunciato

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che:

Una successione $\{a_n\}$ che tende a un limite strettamente positivo $a>0$ (che può essere anche $+\infty$ ) ha definitivamente soltanto termini positivi.

In altre parole, esiste un $N$ tale che $a_{n}>0$ per ogni $n>N$ .

Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

Dimostrazione

Se $a$ è finito, basta prendere $\varepsilon ={\frac {a}{2))$ nella definizione di limite: esiste quindi un $N$ tale che $a_{n}$ è nell’intervallo $\left(a-{\frac {a}{2)),a+{\frac {a}{2))\right)$ per ogni $n > N$ ; poiché $a-{\frac {a}{2))>0$ , allora $a_{n}>0$ per ogni $n > N$ .

Se $a=+\infty$ , per la definizione di convergenza, dato un $M>0$ qualsiasi, esiste $N$ tale che $a_{n}>M$ per ogni $n > N$ .

Esempi

La successione

$a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n}-2,5$

converge ad $e-2,5$ , dove $e=2,71828\ldots$ è il numero di Nepero. Il limite $e-2,5=0,21828\ldots$ è strettamente positivo, quindi esiste un $N$ tale che $a_{n}>0$ per ogni $n > N$ .
Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a_{n}=(-1)^{n}/n$

$-1,{\frac 12},-{\frac 13},{\frac 14},-{\frac 15},{\frac 16},\ldots$

Funzioni

Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x₀.

Poiché f(x₀)>0, esiste un intorno U di x₀ (in verde) tale che f(x)>0 in U

Sia $f:X\to \mathbb {R}$ una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, che ha limite

\lim _{x\to x_{0))f(x)=l>0

strettamente positivo in un punto $x_0$ di accumulazione per $X$ .

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$ diverso da $x_0$ .

Dimostrazione

Poiché $l>0$ si può porre $\varepsilon =l$ . Per l’ipotesi dell’esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di $\varepsilon =l$ un intorno $U$ di $x_0$ tale che $|f(x)-l|<l=\varepsilon$ per ogni ${\displaystyle x\neq x_{0))$ del dominio in $U$ . Quindi, per tali $x$ si ha $l-l<f(x)<l+l$ , cioè $0<f(x)<2l$ , pertanto la funzione è positiva in $U\cap X$ , escluso al più $x_0$ .

Nota

Se $l<0$ , esisterà un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_0$ , $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si dovrà prendere $\varepsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ escluso al più $x_0$ .

Funzioni

Enunciato per una funzione continua in x₀ .

Sia $f:X\to \mathbb {R}$ una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, tale che:

$f(x_{0})>0$

ove $x_0$ è un punto di accumulazione per $X$ .

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$ .

Dimostrazione

L’ipotesi di continuità di $f$ implica che:

$\lim _{x\to x_{_{0))}f(x)=f(x_{0})$

Per ipotesi, $f(x_{0})>0$ , dunque per il teorema precedente segue l’asserto.

Nota

Se $f(x_{0})<0$ il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale per cui per ogni $x\in U\cap X$ si abbia $f(x)<0$ .

Osservazione 1

In questo teorema da $U\cap X$ non va escluso $x_{0},$ essendo $f$ continua in $x_{0}.$

Osservazione 2

Se $X$ è un intervallo, si può omettere di specificare che $x_0$ debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l’intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Nota 1

Se $l<0$ , esisterà un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si potrà prendere $\varepsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ (da cui non si esclude $x_{0},$ per la continuità di $f$ anche in $x_{0}.$ )

Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il cosidetto suo “inverso”.

Inverso del teorema della permanenza del segno.

Sia $f$ una funzione reale a variabile reale definita nell’intervallo aperto $X$ e $\lim _{x\to x_{0))f(x)=l$ .

a) Se esiste un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_{0},$ è $f(x)\geq 0,$ allora $l\geq 0.$

b) Se esiste un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_{0},$ è $f(x)\leq 0,$ allora $l\leq 0.$

Dimostrazione

a) Negando la tesi, si ha $l<0$ . Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno ${\displaystyle U^{))$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_0$ , risulta $f(x)<0$ . Ma allora in ogni punto ${\displaystyle x\neq x_{0))$ di $U^{}\cap U\cap X$ risulta sia $f(x)\geq 0$ (per ipotesi) sia $f(x)<0$ , ma ciò è assurdo: $f$ non può assumere valori distinti in uno stesso punto $x.$ Dunque è $l\geq 0.$

b) Come in a) mutatis mutandis.

Osservazione 3

Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi.

Nell’inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c’è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.

Nota 2

Ovviamente nell’enunciato del teorema non si esclude $x_0$ se $f$ è continua in $x_0$ .

In tale caso, come è noto, è $l=f(x_{0})$ .

L	M	M	G	V	S	D
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

iMathematica

Teorema 2: Permanenza del segno

°°°°°

I teoremi e le proprietà che seguono sono relativi a funzioni che ammettono limite (sia finito che infinito) per x che tende ad un numero finito x_o oppure per x che tende ad infinito.

Per semplicità, li enunceremo e li dimostreremo nel caso in cui la funzione f (x) considerata ammetta limite finito per x che tende ad un numero finito x_o.

l teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica.

Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l’oggetto che vi converge è sempre positivo “da un certo punto in poi” o in un “certo intorno”.

Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Successioni

Enunciato

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che:

Una successione che tende a un limite strettamente positivo (che può essere anche ) ha definitivamente soltanto termini positivi.

In altre parole, esiste un tale che per ogni .

Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

Dimostrazione

Se è finito, basta prendere nella definizione di limite: esiste quindi un tale che è nell’intervallo per ogni ; poiché , allora per ogni .

Se , per la definizione di convergenza, dato un qualsiasi, esiste tale che per ogni .

Esempi

La successione

converge ad , dove è il numero di Nepero. Il limite è strettamente positivo, quindi esiste un tale che per ogni .

Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio

Funzioni

Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x0.

Sia una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme dei numeri reali, che ha limite

strettamente positivo in un punto di accumulazione per .

Allora esiste un intorno di tale che per ogni in diverso da .

Dimostrazione

Poiché si può porre . Per l’ipotesi dell’esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di un intorno di tale che per ogni del dominio in . Quindi, per tali si ha , cioè , pertanto la funzione è positiva in , escluso al più .

Nota

Se , esisterà un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più , . Nella dimostrazione si dovrà prendere , risultando così in escluso al più .

Funzioni

Enunciato per una funzione continua in x0 .

Sia una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme dei numeri reali, tale che:

ove è un punto di accumulazione per .

Allora esiste un intorno di tale che per ogni in .

Dimostrazione

L’ipotesi di continuità di implica che:

Per ipotesi, , dunque per il teorema precedente segue l’asserto.

Nota

Se il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno di tale per cui per ogni si abbia .

Osservazione 1

In questo teorema da non va escluso essendo continua in

Osservazione 2

Se è un intervallo, si può omettere di specificare che debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l’intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Nota 1

Se , esisterà un intorno di in ogni punto del quale . Nella dimostrazione si potrà prendere , risultando così in (da cui non si esclude per la continuità di anche in )

Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il cosidetto suo “inverso”.

Inverso del teorema della permanenza del segno.

Sia una funzione reale a variabile reale definita nell’intervallo aperto e .

a) Se esiste un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più è allora

b) Se esiste un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più è allora

Dimostrazione

a) Negando la tesi, si ha . Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno di in ogni punto del quale, escluso al più , risulta . Ma allora in ogni punto di risulta sia (per ipotesi) sia , ma ciò è assurdo: non può assumere valori distinti in uno stesso punto Dunque è

b) Come in a) mutatis mutandis.

Osservazione 3

Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi.

Nell’inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c’è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.

Nota 2

Ovviamente nell’enunciato del teorema non si esclude se è continua in .

In tale caso, come è noto, è .

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Link Lezione precedente

Link Lezione successiva

Segue Esercitazione

Esercitazione

Calcolare il limite notevole:

Soluzione:

Grafico:

°°°°°

Calcolare il limite notevole:

Soluzione:

Grafico:

°°°°°

Calcolare il limite notevole:

Soluzione:

Grafico:

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Calcolare il limite notevole:

Soluzione:

Grafico:

Una successione $\{a_n\}$ che tende a un limite strettamente positivo $a>0$ (che può essere anche $+\infty$ ) ha definitivamente soltanto termini positivi.

In altre parole, esiste un $N$ tale che $a_{n}>0$ per ogni $n>N$ .

Se $a$ è finito, basta prendere $\varepsilon ={\frac {a}{2))$ nella definizione di limite: esiste quindi un $N$ tale che $a_{n}$ è nell’intervallo $\left(a-{\frac {a}{2)),a+{\frac {a}{2))\right)$ per ogni $n > N$ ; poiché $a-{\frac {a}{2))>0$ , allora $a_{n}>0$ per ogni $n > N$ .

Se $a=+\infty$ , per la definizione di convergenza, dato un $M>0$ qualsiasi, esiste $N$ tale che $a_{n}>M$ per ogni $n > N$ .

converge ad $e-2,5$ , dove $e=2,71828\ldots$ è il numero di Nepero. Il limite $e-2,5=0,21828\ldots$ è strettamente positivo, quindi esiste un $N$ tale che $a_{n}>0$ per ogni $n > N$ .

Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a_{n}=(-1)^{n}/n$

Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x₀.

Sia $f:X\to \mathbb {R}$ una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, che ha limite

strettamente positivo in un punto $x_0$ di accumulazione per $X$ .

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$ diverso da $x_0$ .

Se $l<0$ , esisterà un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_0$ , $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si dovrà prendere $\varepsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ escluso al più $x_0$ .

Enunciato per una funzione continua in x₀ .

Sia $f:X\to \mathbb {R}$ una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme $X$ dei numeri reali, tale che:

ove $x_0$ è un punto di accumulazione per $X$ .

Allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x$ in $U\cap X$ .

L’ipotesi di continuità di $f$ implica che:

Per ipotesi, $f(x_{0})>0$ , dunque per il teorema precedente segue l’asserto.

Se $f(x_{0})<0$ il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale per cui per ogni $x\in U\cap X$ si abbia $f(x)<0$ .

In questo teorema da $U\cap X$ non va escluso $x_{0},$ essendo $f$ continua in $x_{0}.$

Se $X$ è un intervallo, si può omettere di specificare che $x_0$ debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l’intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Se $l<0$ , esisterà un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale $f(x)<0$ . Nella dimostrazione si potrà prendere $\varepsilon =-l$ , risultando così $l+l<f(x)<0$ in $U\cap X$ (da cui non si esclude $x_{0},$ per la continuità di $f$ anche in $x_{0}.$ )

Sia $f$ una funzione reale a variabile reale definita nell’intervallo aperto $X$ e $\lim _{x\to x_{0))f(x)=l$ .

a) Se esiste un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_{0},$ è $f(x)\geq 0,$ allora $l\geq 0.$

b) Se esiste un intorno $U$ di $x_0$ in ogni punto del quale, escluso al più $x_{0},$ è $f(x)\leq 0,$ allora $l\leq 0.$

Ovviamente nell’enunciato del teorema non si esclude $x_0$ se $f$ è continua in $x_0$ .

In tale caso, come è noto, è $l=f(x_{0})$ .