Salvatore Di Lucia
Georg Friedrich Bernard Riemann
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“Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.“
(John von Neumann)
Derivata:
definizioni,
formule,
teoremi.
La nozione di derivata di una funzione,
é indispensabile in ogni ambito dell’Analisi Matematica.
Di conseguenza lo studio e il calcolo delle derivate trovano un’infinità di applicazioni in tantissime discipline: basti pensare alla Fisica e all’Economia.
Studiamo la definizione di derivata di una funzione
analizziamo gli aspetti analitici e geometrici.
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Partiamo dal concetto di
rapporto incrementale
Grafico:
introduciamo
la nozione di derivata, intesa come valore puntuale
la derivata come funzione.
Vediamo qual è
il significato geometrico di derivata
quali sono le condizioni che rendono una funzione derivabile,
imparando a riconoscere i punti di non derivabilità.
Calcolo delle derivate
le formule per le derivate fondamentali,
i teoremi e le regole che consentono di calcolare una qualsiasi derivata,
comprese la derivata della funzione composta
la derivata della funzione inversa.
partiamo da alcune definizioni preliminari, relative
ai punti di massimo e punti di minimo delle funzioni,
Teoremi sulle derivate per lo studio di funzione.
studio della derivata prima
per ricavare informazioni su massimi, minimi e monotonia.
studio della derivata seconda
per individuare i punti di flesso e le informazioni relative alla convessità.
la nozione di differenziale e gli sviluppi in serie di Taylor.
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Rapporto incrementale di una funzione:
definizione e significato geometrico
In questa lezione spieghiamo
la nozione di rapporto incrementale di una funzione f in un punto 
del suo dominio.
Come al solito,
è solamente un nome per indicare un generico punto.
Il concetto che stiamo per studiare è fondamentale perché ci permetterà di definire,
dopo un piccolo lavoro preliminare, la nozione di derivata.
Vediamo dunque cos’è
il rapporto incrementale di una funzione in un punto,
qual è la formula che lo definisce,
qual è il suo significato geometrico.
Indice
-
Definizione
-
Significato geometrico
-
Forma alternativa
Definizione di rapporto incrementale
Consideriamo una funzione di variabile reale e a valori reali 
con espressione analitica y = f(x).
Il rapporto incrementale di una funzione in un punto è il rapporto 
tra la variazione di ordinate del grafico e la variazione di ascisse,
individuate da un incremento h a partire dal punto.
La definizione può risultare difficile a parole, ma in forma simbolica diventa molto più chiara. Definiamo
il rapporto incrementale della funzione f nel punto come il rapporto tra:
-
la differenza delle valutazioni della funzione in
e in; -
l’incremento h tra i punti in cui viene valutata la funzione, ossia
e .
Il simbolo 
indica che l’uguaglianza è una definizione.
Nella formula del rapporto incrementale è presente
il rapporto tra la differenza delle ordinate 
,
ossia le ordinate corrispondenti alle ascisse
mediante f,
e
la differenza delle relative ascisse, che è evidentemente h.
Il rapporto che abbiamo indicato con si chiama rapporto incrementale,
e il nome si giustifica per il fatto che è un rapporto di differenze calcolate a partire da un incremento: h, per l’appunto.
La lettera greca Δ (Delta maiuscola) si usa solitamente in Matematica e in Fisica per indicare una variazione o differenza, il che giustifica la notazione .
Significato geometrico del rapporto incrementale
Abbiamo definito il rapporto incrementale.
Abbiamo capito come si indica e perché si indica così.
Ancora però non sappiamo che cosa rappresenta dal punto di vista pratico,
ossia qual è il significato geometrico del rapporto incrementale,
né il motivo per cui lo abbiamo definito.
La seconda domanda non può, né deve, trovare una risposta qui e ora.
In questi casi è bene ricordarsi la regola più importante dello studio della Matematica.
Prima dobbiamo capire come, poi capiremo perché.
Non ha senso sperare di capire come e perché simultaneamente:
certe domande trovano risposta in itinere e non all’inizio del percorso.
Per quel che riguarda l’interpretazione geometrica del rapporto incrementale,
consideriamo una funzione come quella in figura.
Non ne conosciamo la forma analitica, ossia l’espressione y = f(x), ma poco importa. Consideriamo un punto a caso nel dominio e una distanza h arbitraria, e seguiamo passo passo la definizione.
è il punto di partenza, h una distanza sull’asse delle ascisse.
Consideriamo
l’ascissa
ed individuiamo
le ordinate corrispondenti mediante valutazione della funzione f.
Ora consideriamo
la differenza tra le ordinate
e
la differenza tra le ascisse dei punti indicate nel grafico:
Cosa sono?
Le due differenze corrispondono alle lunghezze dei due cateti del triangolo rettangolo
nella seguente figura.
Significato geometrico del rapporto incrementale.
A questo punto,
se dalla Geometria Analitica ci ricordiamo cos’è il coefficiente angolare di una retta
e
come si calcola disponendo delle coordinate di due punti appartenenti alla retta,
possiamo concludere che
il rapporto incrementale è la pendenza della retta secante il grafico nei due punti.
Grafico:
Forma alternativa del rapporto incrementale
All’inizio della lezione abbiamo definito il rapporto incrementale come:
È bene sapere che esiste
una seconda formulazione del rapporto incrementale, equivalente a quella appena scritta:
È evidente che
le due definizioni differiscono solo per una diversa scrittura dei punti di valutazione.
Per vederlo basta osservare che:
Da parte nostra prediligiamo la prima versione perché, dal punto di vista didattico,
trasmette l’idea di incremento in modo più esplicito.
Nella teoria e nella pratica però può capitare di usare l’una o l’altra forma, perché a seconda del contesto possono risultare più o meno convenienti.
Per il momento vi basti sapere che
il rapporto incrementale può essere espresso in due forme interscambiabili.
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Link Lezione precedente
Esercizi sul rapporto incrementale
Esercitazione
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Grafico:
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