Salvatore Di Lucia
Georg Friedrich Bernard Riemann
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“Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.“
(John von Neumann)
Significato geometrico della derivata :
spiegazione e dimostrazione
In questa lezione spieghiamo qual è il significato geometrico
della derivata di una funzione in un punto.
Riprendiamo la definizione di derivata,
facciamo riferimento al grafico di una funzione y = f(x),
consideriamo un punto (inteso come ascissa 
)
e
il corrispondente punto del grafico 
e capiamo qual è
l’interpretazione grafica della derivata della funzione nel punto.
La spiegazione che proponiamo è in termini comprensibili a chiunque ha iniziato a studiare le derivate, con un piccolo approfondimento alla fine.
1.) Derivata come coefficiente angolare della retta tangente
Consideriamo
una funzione y = f(x)
e
sia 
un punto del suo dominio.
Dal punto di vista geometrico,
la derivata della funzione f = f(x) nel punto è
il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto: 
In altri termini
il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto,
se esiste, è quello di
pendenza della retta tangente al grafico della funzione nel punto
Dimostrazione
Innanzitutto,
quali ipotesi ci servono per poter considerare
la derivata di una funzione in un punto?
Basta che la funzione y = f(x) sia derivabile nel punto .
Scriviamo
l’equazione di una retta generica in forma esplicita: y = m x+q,
dove
m indica il coefficiente angolare della retta e q l’ordinata all’origine.
Noi vogliamo mostrare che
ossia che
la derivata della funzione calcolata nel punto coincide con il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto
Riprendiamo la definizione di
derivata in come limite del rapporto incrementale per 
.
Vi ricordate ciò che abbiamo studiato nella lezione sul rapporto incrementale?
Abbiamo detto che ha il significato geometrico di
coefficiente angolare della retta secante il grafico nei punti e 
.
L’idea è semplice.
Al tendere di ,
la retta secante si riduce alla retta tangente nel punto infatti
il punto del grafico individuato dall’incremento tende a
Grafico:
Questa considerazione geometrica sarebbe sufficiente di per sé,
ma proviamo a interpretarla da un punto di vista analitico.
Facciamo riferimento alla definizione di derivata:
Osserviamo che per valori “molto piccoli” dell’incremento h
la retta tangente si comporta come la funzione
e assume “praticamente” gli stessi valori.
In altre parole,
nel limite 
possiamo sostituire l’ordinata che corrisponde all’ascissa 
con l’ordinata della retta in corrispondenza della stessa ascissa:
Questo perché, appunto,
“vicino” al punto di tangenza retta e funzione assumono lo stesso valore nel passaggio al limite.
In questi termini l’affermazione può sembrare imprecisa, ma tra qualche riga la esprimeremo in modo rigoroso.
Osserviamo poi che
la retta tangente interseca il grafico della funzione nel punto , quindi
e 
devono verificare l’equazione della retta tangente.
Sostituiamo entrambi i termini nella formula della derivata:
Si conclude così che
Nota bene
L’unico passaggio approssimativo della dimostrazione è quello in cui abbiamo sostituito l’ordinata della funzione con la corrispondente ordinata sulla retta, in prossimità del punto di tangenza.
Il passaggio è corretto,
ma ne abbiamo dato una giustificazione semplicistica.
Per chi studia alle Scuole Superiori la dimostrazione va bene così e non c’è niente da aggiungere.
Per chi non si accontenta, invece, basta osservare che
ogni funzione reale di variabile reale che sia derivabile
è
localmente lineare
(basta uno sviluppo di Taylor al primo ordine nel punto).
Nella lezione successiva riprendiamo il significato geometrico della derivata
e
studiamo il metodo pratico per calcolare
l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto.
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Link Lezione precedente
Link Lezione successiva
Supponiamo di avere
una funzione y = f(x)
e che ci venga chiesto di calcolare
l’equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa .
La procedura che descriviamo qui è semplicemente la messa in pratica di quanto spiegato nella lezione sul
significato geometrico della derivata di una funzione in un punto.
1.) Scriviamo l’equazione di una generica retta in forma esplicita.
y = mx+q
2.) Valutiamo la funzione f(x) nel punto .
In questo modo otteniamo l’ordinata corrispondente.
Il punto del grafico della funzione in cui la retta è tangente è proprio 
valutiamo 
3.) Calcoliamo la derivata della funzione f(x) nel punto mediante la definizione:
calcoliamo 
4.) Ricordiamo che la derivata 
nel punto è un numero,
e che tale valore è il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico nel punto.
Significato geometrico derivata : 
5.) Sostituiamo nella generica equazione della retta
e imponiamo la condizione di passaggio della retta nel punto .
Sostituzioni: 
6.) Ricaviamo il parametro incognito q
(ordinata all’origine della retta tangente).
Ricaviamo: 
7.) Riscriviamo l’equazione della retta tangente:
adesso possiamo specificare
il coefficiente angolare m
e
l’ordinata all’origine q.
Quella che abbiamo appena scritto è proprio
l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa .
Il procedimento non è per nulla difficile e, anzi, è utile perché aiuta a capire che ruolo gioca la nozione di derivata di una funzione in un punto.
Esercitazione
calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x = 4
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x = 4
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x =π / 4
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x =1
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x =0
y= 1.5x+0.79
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x =0
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x =1
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
Equazione della retta tangente nel punto x =1/2
y = -6.77x+4.8
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
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calcolare la retta tangente al grafico della funzione
Soluzione:
Grafico:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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Soluzione:
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