Salvatore Di Lucia
Georg Friedrich Bernard Riemann
°°°°°
“Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.“
(John von Neumann)
Derivate fondamentali:
tabella e dimostrazioni
Le derivate fondamentali, o derivate notevoli, sono le derivate delle funzioni elementari e delle funzioni più ricorrenti:
vengono ricavate con la definizione, una volta per tutte, e successivamente utilizzate nei calcoli dandole per buone.
In questa lezione elenchiamo tutte le derivate notevoli.
Se state pensando che dovrete saperle a memoria… Avete ragione!
Ma niente paura:
sarà sufficiente fare un po’ di esercizi per ricordarle automaticamente.
Dunque, vi sconsigliamo di impararle come se si trattasse di una poesia:
studiate le dimostrazioni e usatele di volta in volta negli esercizi.
Il resto verrà da sé.
Conoscere le derivate fondamentali è molto utile
perché,
insieme all’Algebra delle derivate
ai teoremi di derivazione che studieremo nelle lezioni successive,
ci permetteranno di calcolare velocemente
la derivata di una qualsiasi funzione y = f(x).
Tabella delle derivate fondamentali
A seconda dei contesti le derivate fondamentali possono riferirsi a:
1.) le derivate delle funzioni elementari,
che vengono dimostrate mediante la definizione di derivata;
2.) le derivate delle funzioni più ricorrenti, tra cui le funzioni elementari e non solo.
In tabella elenchiamo le funzioni, le relative derivate e il link alle rispettive dimostrazioni.
I.) Con [DEF] indichiamo quelle che si dimostrano con la definizione;
II.) con [AD] quelle che si calcolano con l’Algebra delle derivate
III.) con [DFI] quelle che si ricavano con il teorema di derivazione della funzione inversa.
Se state seguendo le lezioni nel loro ordine, sappiate che affronteremo
l’Algebra delle derivate
il teorema per la derivata dell’inversa nelle lezioni successive.
Derivate ricorrenti ma non fondamentali
Le derivate
della funzione tangente: 
Grafico:
°°°°°
della funzione cotangente: 
Grafico:
°°°°°
della funzione secante: 
Grafico:
°°°°°
della funzione cosecante: 
Grafico:
°°°°°
del seno iperbolico: 
Grafico:
°°°°°
del coseno iperbolico: 
Grafico:
°°°°°
della tangente iperbolica: 
Grafico:
°°°°°
della cotangente iperbolica: 
Grafico:
sono elencate per completezza ma
non sono propriamente derivate fondamentali,
perché si possono ricavare dalle altre con l’Algebra delle derivate.
°°°°°
Un discorso analogo vale per le derivate
della funzione arcoseno:
Grafico:
della funzione arcocoseno:
Grafico:
della funzione arcotangente:
Grafico:
della funzione arcocotangente :
Grafico:
perché il modo più semplice per calcolarle si basa sul
teorema di derivazione della funzione inversa.
°°°°°
Derivate di radici e di funzioni fratte
In tabella non abbiamo elencato le derivate
delle funzioni radici 
né delle funzioni fratte
con n∈N,
perché ricordarle a memoria è inutile.
Ad esempio,
per derivare una radice della forma
basta riscriverla secondo la definizione di radicale,
come potenza con esponente fratto:
Quindi, grazie alla derivata della potenza indicata in tabella:
Se invece dovessimo derivare il reciproco di una potenza come
sarebbe sufficiente riscriverla come potenza ad esponente negativo
e usare la derivata della potenza:
°°°°°
Alcune dimostrazioni delle derivate fondamentali
Vediamo le dimostrazioni di alcune derivate notevoli con la definizione,
in estrema sintesi e a titolo esemplificativo.
Sappiate che in generale sono semplici e vanno sapute;
se volete approfondire i passaggi,
come pure leggere quelle che non menzioniamo qui,
potete fare riferimento alle pagine linkate in tabella.
Come anticipato,
le derivate delle funzioni elementari si deducono applicando la definizione.
Dovremo sempre calcolare
il limite del rapporto incrementale in un generico punto x.
Spesso dovremo usare uno dei limiti notevoli per portare a termine il calcolo, e attenzione:
qui è h che tende a zero, non x.
°°°°°
1.) Se f(x) è costante,
allora
f'(x) = 0.
°°°°°
2.) Se f(x) = x,
allora
f'(x) = 1.
°°°°°
3.) Se 
allora
iMathematica 
Devi effettuare l'accesso per postare un commento.