![](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2015/06/sdl.png?w=645)
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
N.9.- Raggio di convergenza di una serie di potenze.-
Definizione di Raggio di convergenza di una serie di potenze.-
Sia:
la serie di potenze di coefficienti :
e punto iniziale
,![AM 2.4.9.3](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-3.png?w=645&h=183)
Osservazione 1
Poichè la serie
converge nel punto
, il raggio di convergenza di una serie di potenze é non negativo.
Osservazione 2
Dalla proposizione (8.1) consegue banalmente:
(9.1) Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
a) La serie di potenze:
ha raggio di convergenza uguale a ρ .
b) La serie di potenze:
converge in ogni punto di
e non converge nei punti di R non appartenenti a![AM 2.4.9.8](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-8.png?w=201&h=60)
Osservazione 3
Per tale ragione, se ρ é il raggio di convergenza della serie di potenze
l’intervallo
chiamasi Intervallo di Convergenza della serie ![AM 2.4.9.1](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-1.png?w=645&h=65)
Osservazione 4
Evidentemente, l’intervallo di convergenza di una serie di potenze di punto iniziale
può essere vuoto: ciò accade se e solo se il suo raggio di convergenza é nullo o, ciò che é lo stesso, se e solo se la serie di potenze
converge solo per
.
Osservazione 6
Osserviamo altresì che, se il raggio di convergenza, diciamolo ρ, della serie di potenze
é finito o nullo, niente si può dire in generale circa la convergenza della serie di potenze (1) nei punti ![AM 2.4.9.10](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-10.png?w=276&h=77)
Così ad esempio, la serie di potenze:
il cui raggio di convergenza é 1, non converge nè nel punto 1, sia nel punto -1;
per contro , ad esempio la serie di potenze:
il cui raggio di convergenza é 1, converge sia nel punto 1, nè nel punto -1; infine ad esempio la serie di potenze:
il cui raggio di convergenza é 1, converge sia nel punto -1, ma non nel punto +1.
Osservazione 7
Relativamente alla nozione di raggio di convergenza, notevole é il seguente:
Teorema fondamentale per la ricerca del raggio di convergenza di una serie di potenze.-
Teorema di Cauchy-Hadamard
Il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti
é uguale a:
DIM.:
Osservazione 8
Enunciamo infine, omettendo per brevità la dimostrazione, il seguente importante:
Teorema di Abel
a)
Ogni serie di potenze di punto iniziale
, il cui raggio di convergenza ρ sia finito o non nullo, la quale converga nel punto
converge uniformemente nell’intevallo ![AM 2.4.9.18](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-18.png?w=185&h=95)
![AM 2.4.9.20](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-20.png?w=645&h=146)
b)
Ogni serie di potenze di punto iniziale
, il cui raggio di convergenza ρ sia finito o non nullo, la quale converga nel punto ![AM 2.4.9.17](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-17.png?w=199&h=103)
converge uniformemente nell’intevallo ![AM 2.4.9.19](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-19.png?w=150&h=64)
![AM 2.4.9.20](https://dilucia.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/am-2-4-9-20.png?w=645&h=146)
…Continua…!
Tag: raggio di convergenza di una serie di potenze, Teorema di Abel, Teorema di Chauchy-Hadamard
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