Spazi Compatti

Uno spazio topologico S dicesi compatto se ogni ricoprimento di S costituito da aperti, contiene un ricoprimento  finito di S.

Caratteristica degli spazi compatti

Uno spazio topologico S é compatto se, e soltanto se, ogni famiglia di chiusi di S, la cui intersezione sia vuota, contiene una famiglia finita la cui intersezione é vuota.

Dimostrazione

Sia S compatto

e

sia una famiglia di chiusi di S  tale che .

Poiché si ha:

onde é un ricoprimento di aperti di S.

Esiste allora un sottoinsieme finiti F di I tale che risulti un ricoprimento di S (in quanto S é compatto).

si ha dunque e quindi, per la …

cioè

°°°°°

 

 

 

 

 

Segue …

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iMathematica

III. SPAZI METRICI

§ III.9.- Compattezza.- Spazi Compatti .-

III.91. a.-

Definizione. –

Figura 1

°°°°°

Definizione. –

Figura 2

°°°°°

Se uno spazio metricoé compatto, ogni sottoinsieme infinito ha un punto limite .

Dimostrazione. –

Infatti, un sottoinsieme infinito in E contiene una successione infinita di punti distinti e il suo punto limite  é anche punto limite dell’insieme E .-

Viceversa,

supponiamo che ogni sottoinsieme infinito dello spazio metrico M abbia un punto limite;

mostriamo che M é compatto .-

Sia

una successione qualsiasi di punti di M (non necessariamente distinti).-

Se questa successione contiene di fatto un numero finito di punti distinti dello spazio M, allora almeno uno di essi si ripete un numero infinito di volte e, quindi, questo punto é un punto limite della successione

Se invece questa successione contiene una infinità di punti distinti di M, il punto limite di questo insieme di punti sarà un punto limite di tutta la successione .-

Quindi, la definizione di spazio compatto data sopra é equivalente a quanto segue:

Uno spazio metrico é compatto se ciascun suo sottoinsieme infinito contiene un punto limite .

°°°°°

III.91. b.- Esempi.

b1.- Un intervallo a ≤ x ≤ b della retta numerica  é compatto (III.45).-

b2.-Tutta la retta numerica non é uno spazio compatto, poichè, per esempio, la successione 1,2,…,n,… non ha in R  nessun punto limite.

Ma lo spazio é localmente compatto.-

b3.- La retta numerica allargata  avente la metrica r(x,y) (III.35 e) é compatta .-

b4.- L’insieme dei punti razionali dell’intervallo [a,b] con la metrica della retta numerica  non é nè compatto nè localmente compatto .-

III.91. c.- Abbiamo sottolineato nel punto III.43 che la proprietà di un dato punto di essere punto limite di una successione si conserva passando a una metrica nuova, omomorfa a quella iniziale.-

Poichè le definizioni di spazio compatto e di spazio localmente compatto sono basate soltanto sul concetto di punto limite, ne traiamo la seguente conclusione:

La proprietà di uno spazio di essere compatto si conserva passando a una metrica nuova, omomorfa a quella iniziale .-

Così, l’asse reale R é uno spazio localmente compatto sia per la metrica abituale  sia per la metrica r(x,y) (III.35 e) .-

°°°°°

 

…Segue…

“……..”

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