EDO lineari non omogenee Metodo dei coefficienti indeterminati

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Equazioni differenziali lineari non omogenee

Metodo dei coefficienti indeterminati

Data una equazione differenziale lineare non omogenea:

Utilizziamo il Metodo dei coefficienti indeterminati per trovare la soluzione generale.

Passo 1:

Risolviamo dapprima l’equazione omogenea associata

per trovare una soluzione

Passo 2:

Cerchiamo una soluzione particolare dell’equazione non omogenea

 

Passo 3:

Quindi:

Passo 4:

Dalle condizioni iniziali otteniamo i valori delle costanti

Passo 5:

Infine la soluzione generale (dove le costanti sono note)

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Equazioni differenziali lineari non omogenee

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Equazioni differenziali lineari non omogenee

Sia

Metodo dei coefficienti indeterminati

1.) Cerchiamo la soluzione l’equazione omogenea associata:

2.) Cerchiamo una soluzione particolare, dell’equazione non omogenea:

3.) Soluzione generale

4.) Dalle condizioni iniziali otteniamo i valori delle costanti

5.) Soluzione Problema di Cauchy:

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Equazioni riconducibili a equazioni omogenee o a variabili separabili

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Equazioni riconducibili a equazioni omogenee o a variabili separabili

1.) Consideriamo equazioni del tipo:

Soluzione:

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2.) Consideriamo equazioni del tipo:

Soluzione:

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Da EDO omogenea

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Equazioni omogenee

Sono le equazioni della forma

Fanno parte di questa classe le equazioni del tipo

per la quale si ha

e al contempo, per t≠0

Si ottiene infine

che é

un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine a variabili separabili.

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EDO : Oltre il numero due

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EDO : Oltre il numero due

Finora abbiamo esaminato

equazioni differenziali del secondo ordine

e

sistemi di due equazioni differenziali del primo ordine.

Abbiamo anche esaminato le relazioni esistenti fra le prime e i secondi in modo da capire come entrambe siano associabili a modelli in cui sono presenti due livelli.
Dagli esempi fatti nelle lezioni precedenti e dall’analisi teorica svolta fino a questo punto dovrebbe essere chiaro che:

(1)

da una equazione differenziale del secondo ordine si passa sempre a due equazioni differenziali del primo ordine;

(2)

il passaggio inverso é possibile solo se almeno una delle due equazioni differenziali del primo ordine dipende dall’altra;

(3)  

una equazione differenziale del secondo ordine e il corrispondente sistema di due equazioni del primo ordine sono equivalenti nel senso che:

1. (3a)  la soluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine coincide con una delle soluzioni delle equazioni differenziali del primo ordine,

2. (3b)  la soluzione dell’altra equazione differenziale del primo ordine é in relazione con la derivata della soluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine.

Il passo successivo é quello di passare ad una equazione differenziale del terzo ordine quale la seguente:

per la quale valgono le considerazioni fatte per le equazioni differenziali del secondo ordine.

Anche in questo caso la funzione f(t) rappresenta una sollecitazione esterna i cui effetti si sommano (per la linearità) all’andamento della y(t) in assenza di detta sollecitazione ovvero in autonomia.

Come si é visto nel caso delle equazioni differenziali del secondo ordine il caso più semplice é quello in cui i coefficienti a, b e c sono delle costanti che non dipendono dal tempo e, contemporaneamente, la sollecitazione esterna é assente in modo che la assuma la forma seguente:

Nella le derivate del primo e del secondo ordine sono ancora assimilabili, rispettivamente, ad una velocità e ad una accelerazione riferite alla variabile y(t) mentre alla derivata terza non si riesce ad attribuire un corrispondente significato fisico.

La soluzione generale della dipende da tre costanti arbitrarie per cui il calcolo di una soluzione completamente specificata della richiede che si abbiano tre condizioni iniziali ovvero che si conoscano i valori y(0), y'(0) e y”0).

Per risolvere la si hanno, similmente a quanto visto per le equazioni differenziali del secondo ordine, si hanno due approcci:

(1) approccio diretto

(2) approccio indiretto

Secondo l’approccio diretto si cerca una soluzione della

mediante la soluzione dell’equazione caratteristica associata che ha la forma seguente:

Il procedimento di soluzione prevede che si calcolino le soluzioni della ovvero gli autovalori, in base alle quali si ricavano gli autovettori in modo da determinare la soluzione y(t) come combinazione lineare degli autovettori e di termini esponenziali dipendenti dagli autovalori.

Analogamente a quanto visto nel caso delle equazioni caratteristiche associate alle equazioni differenziali del secondo ordine nel caso della si possono individuare i casi seguenti:

(1) una radice reale e due complesse coniugate;

(2) tre radici reali

1. (2a) distinte,

2. (2b) due coincidenti e una distinta,

3. (2c) tre coincidenti.

In ogni caso l’elemento qualificante é il segno della parte reale di tali radici.

Se tale segno é negativo si hanno soluzioni decrescenti o con oscillazioni smorzate nel tempo

mentre

se tale segno é positivo si hanno soluzioni crescenti o con oscillazioni crescenti nel tempo.

Un caso particolare degno di nota si ha se c = 0. In questo caso la

assume la forma seguente:

che si presta ad una riduzione di ordine se si introduce una variabile ausiliaria

In questo modo laassume la forma seguente:

dalla quale si ricava prima l’espressione della w(t) con le tecniche viste per le equazioni differenziali del secondo ordine e poi, con una integrazione, quella della y(t).

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Secondo l’approccio indiretto si deve riscrivere l’equazione data come un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine.

Se si riprende l’equazione data:

questo approccio richiede che si introducano le seguenti variabili ausiliarie:

Le variabili ausiliarie ci permettono di trasformare la

nel seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine:

che può essere riscritto nella forma seguente, con le ovvie corrispondenze:

dove la matrice A ha la struttura seguente:

Se ora si imposta la seguente equazione nell’incognita λ:

con semplici calcoli si arriva ad una equazione nell’incognita λ identica alla

Anche in questo caso si ha quindi una corrispondenza fra una equazione differenziale del terzo ordine e tre equazioni differenziali del primo ordine analoga a quella che abbiamo visto esistere fra le equazioni differenziali del secondo ordine e i sistemi di due equazioni differenziali del primo ordine.

Se, d’altra parte, si hanno tre equazioni differenziali del primo ordine

(a ciascuna delle quali può essere fatto corrispondere un modello Vensim con un solo livello)

si hanno i casi seguenti:

– le tre equazioni sono fra di loro indipendenti,

– due equazioni sono legate fra di loro mentre la terza é indipendente dalle altre due,

– le tre equazioni sono fra di loro dipendenti.

Nel primo caso

si hanno tre modelli senza interazioni reciproche per cui non é possibile combinare in alcun modo le tre equazioni,

nel secondo caso

solo due delle tre equazioni possono essere combinate fra di loro in modo da definire una equazione differenziale del secondo ordine

nel terzo caso

si ottiene una equazione differenziale del terzo ordine combinando in modo opportuno le tre equazioni date.

Si ritiene degno di nota il fatto che in genere si usa la trasformazione da una equazione differenziale del terzo ordine in un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine

(in modo da determinare un modello Vensim sul quale eseguire delle simulazioni)

mentre la trasformazione inversa non viene quasi mai utilizzata.

Discorsi analoghi valgono nel caso di una equazione differenziale di ordine n alla quale corrisponde, con la tecnica vista, un sistema di n equazioni del primo ordine.

Va da se che in questo caso l’equazione caratteristica é di ordine n ed ha n radici.

Anche in questo caso le radici sono o reali o complesse coniugate a coppie in modo che le radici reali o le parti reali determinano gli andamenti o gli inviluppi e le parti immaginarie determinino gli andamenti oscillatori.

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