Monomi

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Monomi

Calcolo Letterale

ESPRESSIONI LETTERALI E VALORE NUMERICO DI UN’ESPRESSIONE

Lettere per esprimere formule

La procedura per determinare la misura della superficie di un rettangolo ovviamente è sempre la stessa e la possiamo esprimere con una formula:

A = b⋅h,

nella quale abbiamo indicato con

b la misura di una dimensione

e con

h la misura dell’altra dimensione,

assegnate rispetto alla stessa unità di misura.

La formula ha carattere generale; essa serve ogni qualvolta si chiede di determinare la superficie di un rettangolo, note le misure delle dimensioni (base e altezza) rispetto alla stessa unità di misura.

In geometria

si utilizzano tantissime formule che ci permettono di determinare perimetro e area delle figure piane, superficie laterale e superficie totale e volume dei solidi.

Nelle formule le lettere sostituiscono le misure di determinate grandezze, tipiche di quella figura o di quel solido.

Lettere per descrivere schemi di calcolo

L’uso di lettere dell’alfabeto per indicare numeri ci permette di generalizzare uno schema di calcolo

DEFINIZIONE.

Un’espressione letterale o espressione algebrica è uno schema di calcolo in cui compaiono numeri e lettere legati dai simboli delle operazioni.

Lettere per esprimere proprietà

Il valore numerico di un’espressione letterale

DEFINIZIONI

In un’espressione letterale le lettere rappresentano le variabili che assumono un preciso significato quando vengono sostituite da numeri.

Chiamiamo

valore di un’espressione letterale il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni indicate dallo schema di calcolo quando alle lettere sostituiamo un numero.

Il valore dell’espressione letterale dipende dal valore assegnato alle sue variabili.

Condizione di esistenza di un’espressione letterale

MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI

L’insieme dei monomi

DEFINIZIONE.

Una espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio.

OSSERVAZIONI

Gli elementi di un monomio sono fattori,

perché sono termini di una moltiplicazione ma possono comparire anche potenze, infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali.

Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari.

In un monomio gli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali.

DEFINIZIONE.

Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse.

PROCEDURA.

Per ridurre in forma normale un monomio occorre:

moltiplicare tra loro i fattori numerici moltiplicare le potenze con la stessa base

DEFINIZIONE.

La parte numerica del monomio ridotto a forma normale si chiama coefficiente

DEFINIZIONI

Se il coefficiente del monomio è zero il monomio si dice nullo.

Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne costituisce la parte letterale.

DEFINIZIONE.

Due o più monomi che hanno parte letterale identica sono monomi simili.

DEFINIZIONE.

Due monomi simili che hanno coefficiente opposto si dicono monomi opposti.

DEFINIZIONI

Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale.

Quando il monomio è ridotto a forma normale, l’esponente di una sua variabile ci indica il grado del monomio rispetto a quella variabile.

Il valore di un monomio

Moltiplicazione di due monomi

Ci proponiamo ora di introdurre nell’insieme dei monomi le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza, divisione.

Ricordiamo che definire in un insieme un’operazione significa stabilire una legge che associa a due elementi dell’insieme un altro elemento dell’insieme stesso.

La moltiplicazione di due monomi si indica con lo stesso simbolo della moltiplicazione tra numeri; i suoi termini si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto, proprio come negli insiemi numerici.

DEFINIZIONE.

Il prodotto di due monomi è il monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti, per parte letterale il prodotto delle parti letterali dei monomi fattori.

Procedura per moltiplicare due monomi

La moltiplicazione tra monomi si effettua moltiplicando prima i coefficienti numeri e dopo le parti letterali:

nella moltiplicazione tra i coefficienti usiamo le regole note della moltiplicazione tra numeri razionali.

nella moltiplicazione tra le parti letterali applichiamo la regola del prodotto di potenze con la stessa base.

Potenza di un monomio

DEFINIZIONE.

La potenza di un monomio è un monomio avente per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale.

Procedura per eseguire la potenza di un monomio: 

Applichiamo la proprietà relativa alla potenza di un prodotto, eseguiamo cioè la potenza di ogni singolo fattore del monomio.

applichiamo la proprietà relativa alla potenza di potenza, moltiplicando l’esponente della variabile per l’esponente delle potenza.

Addizione di due monomi

L’addizione di due monomi si indica con lo stesso simbolo dell’addizione tra numeri; i suoi termini si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.

1° caso: addizione di due monomi simili

DEFINIZIONE.

La somma di due monomi simili è un monomio simile agli addendi e avente come coefficiente la somma dei coefficienti.

Osserva che la somma di monomi si riduce alla somma algebrica tra i coefficienti.

Proprietà della addizione:

• commutativa: m1 + m2 = m2 + m1

• associativa: ( m1 + m2) + m3 = m1 +( m2 + m3) = m1 + m2 + m3

• 0 è l’elemento neutro: 0 + m = m + 0 = m

• per ogni monomio m esiste il monomio opposto, cioè un monomio m* tale che m + m* = 0.

L’ultima proprietà enunciata ci permette di definire nell’insieme dei monomi simili anche la sottrazione di monomi.

Essa si indica con lo stesso segno della sottrazione tra numeri e il suo risultato si chiama differenza.

DEFINIZIONE.

Per sottrarre due monomi simili si aggiunge al primo l’opposto del secondo.

Sulla base di quanto detto, possiamo unificare le due operazioni di addizione e sottrazione di monomi simili in un’unica operazione che chiamiamo “somma algebrica di monomi”

DEFINIZIONE.

La somma algebrica di due monomi simili è un monomio simile agli addendi avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

2° caso: addizione di monomi non simili

Il procedimento che abbiamo seguito per determinare il risultato dell’addizione assegnata viene chiamato riduzione dei termini simili.

In conclusione,

l’operazione di addizione tra monomi ha come risultato un monomio solo se gli addendi sono monomi simili;

in caso contrario la somma viene effettuata riducendo i monomi simili e lasciando indicata l’addizione tra gli altri monomi.

Divisione di due monomi

DEFINIZIONE:

assegnati due monomi m1 e m2 con m2 diverso dal monomio nullo, se è possibile determinare il monomio q tale che m1 = q ⋅ m2 ,

si dice che m1 è divisibile per m2 e q è il monomio quoziente.

Procedura per calcolare il quoziente di due monomi

• Il quoziente di due monomi è un monomio così composto:

• il coefficiente è il quoziente dei coefficienti dei monomi dati

• la parte letterale ha gli esponenti ottenuti sottraendo gli esponenti delle stesse variabili

• se la potenza di alcune delle lettere risulta negativa il risultato della divisione non è un monomio.

In conclusione,

l’operazione di divisione tra due monomi ha come risultato un monomio se ogni variabile del dividendo ha esponente maggiore o uguale all’esponente con cui compare nel divisore.

Espressioni con i monomi

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POLINOMI ED OPERAZIONI CON ESSI

Definizioni fondamentali

Un polinomio è un’espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi.

Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio è anche un polinomio.

Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.

Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali si dicono uguali,

più precisamente vale

il principio di identità dei polinomi:

due polinomi p( x) e q x( ) sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei termini simili.

Se due polinomi sono invece formati da termini opposti, allora si dicono polinomi opposti.

Definiamo, inoltre,

un polinomio nullo quando i suoi termini sono a coefficienti nulli.

Il polinomio nullo coincide con il monomio nullo.

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado.

Un polinomio di grado n rispetto ad una data lettera si dice completo se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a n , compreso il termine noto.

Somma algebrica di polinomi

I polinomi sono somme algebriche di monomi e quindi le espressioni letterali che si ottengono dalla somma o differenza di polinomi sono ancora somme algebriche di monomi.

In definitiva diciamo che la somma di due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti i termini dei polinomi addendi.

Prodotto di un polinomio per un monomio

Quoziente tra un polinomio e un monomio

Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione.

Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio, dà come risultato il polinomio di partenza; il monomio si dice divisore del polinomio.

Prodotto di polinomi

Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.

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