III. SPAZI METRICI
III.43- Omomorfismo .-
La seconda di queste definizioni di punto limite é basata soltanto sul concetto di successione convergente.
Poichè un omomorfismo di uno spazio metrico M in uno spazio metrico M’ conserva la convergenza di una successione, si può trarre la seguente conclusione.
Se
e se
allora
In particolare:
Se
e
se
con
e se
allora
III.44.
a.- Sia A un sottoinsieme di uno spazio metrico M.
Definizione
punto limite di un sottoinsieme di uno spazio metrico
Osservazione 1
La definizione sopra citata di punto limite di un sottoinsieme differisce formalmente dalla definizione di punto limite di una successione; questa differenza é dovuta al fatto che una successione di punti di un insieme é un concetto diverso da quello di sottoinsieme, poichè i punti di una successione possono ripetersi e quelli di un sottoinsieme no.
Così, i punti 0 e 1 della successione 
sono dei punti limite per la successione, ma non sono punti limite dell’insieme 
Osservazione 2
Le proposizioni III.42. e III.43. concernenti i punti limite delle successioni restano valide anche per i punti limite dei sottoinsiemi.- Se y é un punto limite di un insieme 
si può allora dedurre dall’insieme
una successione di diversi punti convergente a y (così come nel punto III.42.);
viceversa, se si può dedurre dall’insieme
una successione di punti diversi convergente a un punto 
questo punto
é allora un punto limite dell’insieme
Ne risulta che un omomorfismo dello spazio metrico M conserva i punti limite dell’insieme
(in virtù di III.43.)
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b. Esempio.-
Supponiamo che A sia un insieme limitato superiormente sull’asse reale e che 
mostriamo che
é un punto limite dell’insieme A .-
Dimostrazione
eseguiamo la dimostrazione per il punto
In virtù della definizione stessa di estremo superiore, 
Poichè, per ipotesi,
si ha 
Il numero
é quindi un punto limite dell’insieme A, come dovevasi dimostrare.-
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iMathematica 
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