iMathematica

 

“Fra tutti i successi teorici della conoscenza nessuno, forse, può considerarsi un trionfo così elevato dello spirito umano come l’invenzione del calcolo infinitesimale.-“

F.Engels

CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE

IX. INTEGRALE DI RIEMANN

L’area di una curva é una quantità che si produce incessantemente e aumenta di una flussione continua, proporzionale all’ordinata della curva.-

Isacco Newton

Philosophie naturalis principia mathematica (1687)

IX.6.- Applicazioni dell’integrale .-

IX.65.- Schema generale di applicazione dell’integrale.-

h.- Volume di un solido ottenuto intersecando una sfera con un paraboloide.-

Volume di un solido ottenuto intersecando una sfera di raggio R con un paraboloide di rotazione il cui vertice coincide con il centro della sfera (figura 1).-

figura 1

L’equazione del Paraboloide éne segue che l’area della sezione del paraboloide con un piano ad altezza h (sopra il centro della sfera ) é L’area della sezione della sfera ad altezza h é uguale aL’intersezione della superficie della sfera con la superficie del paraboloide avviene ad altezza … definita dall’equazionequindi,e

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i.- Dilatazione di solido k volte lungo uno degli assi.-

il volume aumenta di k volte (la dimostrazione é la stessa che in IX.61 d-e per il caso piano). Ne segue, ad esempio, che il volume di un ellissoide di semiassi a,  b,  c  é uguale apoichè una sfera di raggio 1 ha volumee l’ellissoide in esame si ottiene dalla sfera dilatando di a volte l’asse x, di b volte l’asse y e di c volte l’asse z.-

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Il volume del solido di rotazione è generato dalla rotazione del grafico di una funzione attorno all’asse delle y.

Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della parte di piano delimitata dal grafico della funzione  e dalla retta  intorno all’asse delle y. nel caso in esame dobbiamo calcolare il volume del solido individuato dalla rotazione dell’area sottesa dal grafico della funzione  (una parabola) sull’intervallo d’ascisse  attorno all’asse delle y.

Per calcolarlo è sufficiente applicare la seguente formula.

VOLUME DEL SOLIDO GENERATO DALLA ROTAZIONE ATTORNO ALL’ASSE y

dove  è l’intervallo sul quale la funzione sottende l’area e  è l’espressione analitica della funzione. Nel nostro caso

figura 2

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Per completezza, riportiamo anche la formula relativa al calcolo del

VOLUME DEL SOLIDO GENERATO DALLA ROTAZIONE ATTORNO ALL’ASSE x

dove è l’intervallo sul quale la funzione sottende l’area e è l’espressione analitica della funzione.

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“Sono persuaso che la matematica sia il più importante strumento di conoscenza fra quelli lasciatici in eredità dall’agire umano, essendo la fonte di tutte le cose.”
(Cartesio)

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…Segue…

“……..”

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  Integrale di Riemann

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IX.65.- Schema generale di applicazione dell’integrale.-

h.- Volume di un solido ottenuto intersecando una sfera con un paraboloide.-

Volume di un solido ottenuto intersecando una sfera di raggio R con un paraboloide di rotazione il cui vertice coincide con il centro della sfera (figura 1).-

figura 1

L’equazione del Paraboloide éne segue che l’area della sezione del paraboloide con un piano ad altezza h (sopra il centro della sfera ) é  L’area della sezione della sfera ad altezza h é uguale a L’intersezione della superficie della sfera con la superficie del paraboloide avviene ad altezza … definita dall’equazionequindi, e

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i.- Dilatazione di solido k volte lungo uno degli assi.-

il volume aumenta di k volte (la dimostrazione é la stessa che in IX.61 d-e per il caso piano). Ne segue, ad esempio, che il volume di un ellissoide di semiassi a,  b,  c  é uguale a poichè una sfera di raggio 1 ha volume e l’ellissoide in esame si ottiene dalla sfera dilatando di a volte l’asse x, di b volte l’asse y e di c volte l’asse z.-

 

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