Di Lucia Salvatore
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la divisione tra polinomi.
Tale operazione si esegue con una regola molto simile alla divisione tra numeri così come la conosciamo dall’aritmetica.
Abbiamo visto nella scorsa lezione la divisione di un polinomio per un monomio.
Tuttavia,
la divisione tra polinomi segue una procedura nettamente diversa.
E’ comunque necessario anche in questo caso conoscere la divisione tra monomi.
Precisiamo anzitutto che è
possibile eseguire la divisione tra due polinomi qualsiasi,
così come è possibile dividere tra loro due numeri qualsiasi (purché, ovviamente, il numero o polinomio divisore sia non nullo).
Infatti,
nell’operazione di divisione tra polinomi otteniamo un quoziente e un eventuale resto che appartengono sempre all’insieme dei polinomi.
Di conseguenza,
posta l’unica condizione che il divisore sia diverso da zero,
l’operazione è sempre possibile e risulta interna all’insieme dei polinomi.
Ora, per caratterizzare la divisione tra polinomi occorre anzitutto stabilire
un criterio di divisibilità tra polinomi,
ovvero sapere quando
un polinomio risulta divisore di un polinomio .
Inoltre, ci servirà anche
un teorema in grado di assicurarci l’esistenza e l’unicità del quoziente e dell’eventuale resto della divisione.
Osserviamo comunque fin da subito che per eseguire la divisione tra polinomi non è necessario che i polinomi siano tra loro divisibili.
Questa è un’importante differenza rispetto alla divisione di un polinomio per un monomio,
la quale invece richiede necessariamente la divisibilità.
Così,
se i due polinomi sono divisibili il risultato della loro divisione sarà dato da un quoziente completo (e quindi resto zero).
Diversamente,
otterremo come risultato un certo quoziente ed un resto necessariamente non nullo.
Infine,
nel caso particolare in cui il grado del polinomio divisore sia maggiore del grado del polinomio dividendo, la divisione è comunque possibile ma otterremo come risultato un quoziente nullo e resto pari al polinomio dividendo.
In questa circostanza è dunque possibile eseguire immediatamente la divisione senza alcun calcolo.
E osserviamo che siamo ancora nel caso di polinomi non divisibili tra loro (infatti, il resto è diverso da zero).
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Teoria e regola pratica per la divisione tra polinomi
Dati due polinomi e , con ,
consideriamo la divisione tra polinomi:
Il polinomio è divisibile per il polinomio
se esiste un polinomio tale che:
In tal caso
rappresenta il quoziente esatto della divisione ed abbiamo:
Se invece il polinomio non è divisibile per il polinomio è comunque possibile eseguire la divisione ma
la precedente relazione non potrà essere soddisfatta.
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Vale però il seguente teorema.
Teorema:
Se è un polinomio di grado e è un polinomio di grado , con ,
allora
esistono due polinomi e
tali che risulti:
con
grado del resto minore del grado del divisore.
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Se invece
il grado del polinomio divisore è maggiore del grado del polinomio dividendo ,
il grado del resto non risulterà minore del grado del polinomio divisore
ed in particolare
la divisione fornirà quoziente e resto .
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Regola per il calcolo della divisione tra polinomi
Nel caso in cui
il grado del polinomio dividendo sia maggiore o uguale al grado del polinomio divisore
il calcolo della divisione tra polinomi consiste nel determinare il quoziente
(necessariamente diverso da zero)
e il resto
(che potrà invece essere diverso da zero ma anche nullo).
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Se il resto che calcoleremo sarà nullo
diremo che
il polinomio è divisibile per il polinomio .
Per il calcolo della divisione tra polinomi sono necessarie le seguenti operazioni:
-
divisione tra monomi;
-
moltiplicazione di un monomio per un polinomio;
-
somma algebrica tra polinomi.
in particolare si tratterà di calcolare uno o più resti parziali,
fintanto che il grado del resto parziale ottenuto non risulterà minore del grado del polinomio divisore.
In altre parole,
capiremo che il resto parziale ottenuto coinciderà con il resto finale della divisione quando questo avrà grado minore del grado del divisore.
E ciò è in accordo con quanto richiesto dal precedente
teorema sull’esistenza del quoziente e del resto.
Verificata quindi tale condizione, l’operazione di divisione tra polinomi sarà terminata.
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Divisione tra polinomi con più lettere
Nel caso della divisione tra polinomi con più lettere le regole da seguire sono praticamente le stesse della divisione tra polinomi con una sola lettera, a patto di dover scegliere fra le lettere presenti la variabile di riferimento.
Così ad esempio
la divisione:
potrà essere eseguita sia rispetto alla lettera , sia rispetto alla lettera .
Ora,
se la divisione è esatta
(quoziente esatto),
in entrambi i casi otteniamo gli stessi quozienti e resto
(quoziente uguale e resto zero).
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Se invece la divisione non è esatta,
in ciascun caso otteniamo quoziente e resto differenti.
Di conseguenza,
è importante stabilire rispetto a quale lettera eseguiamo una divisione tra polinomi con più lettere.
Ora,
nell’eseguire la divisione
dovremo ordinare entrambi i polinomi rispetto alla lettera scelta,
trattando le lettere rimanenti come costanti.
La divisione sarà terminata quando
il grado dell’ultimo resto parziale rispetto alla lettera scelta è minore del grado del divisore anch’esso rispetto alla lettera scelta.
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Veniamo subito alla pratica.
Eseguiamo la seguente divisione prendendo come variabile di riferimento la lettera :
Osserviamo che entrambi i polinomi sono già ordinati (per potenze decrescenti) rispetto alla lettera .
Inoltre,
il dividendo è completo rispetto alla lettera e quindi non dobbiamo riscriverlo nella forma “forzatamente completa”
(usando coefficienti nulli per i termini mancanti).
Possiamo allora procedere con la divisione,
utilizzando le regole utilizzate in precedenza.
Dobbiamo soltanto osservare che tutte le lettere diverse dalla lettera scelta per la divisione dovranno essere trattate come numeri.
Così in questo caso ad esempio nel monomio dovremo considerare come parte letterale e come parte numerica
(quindi un coefficiente parametrico).
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Conclusioni
Per quanto riguarda la divisione tra polinomi è tutto.
L’operazione non è così complicata come potrebbe sembrare.
Il trucco è esercitarsi molto ed applicare correttamente tutte le regole.
In particolare:
-
ricordare sempre di ordinare i polinomi rispetto alla lettera scelta per la divisione (o rispetto all’unica lettera presente se i polinomi hanno una sola lettera);
-
scrivere sempre in forma completa il polinomio dividendo, anche a costo di aggiungere dei termini con coefficiente zero;
-
tenere conto che la divisione dovrà fermarsi quando il grado dell’ultimo resto parziale rispetto alla lettera scelta per la divisione (o all’unica presente) è minore del grado del divisore rispetto alla lettera scelta o all’unica lettera presente.
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