Di Lucia Salvatore
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FUNZIONE ESPONENZIALELa nozione di potenza ad esponente intero e ad esponente razionale di un numero reale positivo è già stata introdotta, definendo le seguenti regole: ammettendo i numeri:a ∈ R+ (appartenente all’insieme dei numeri reali positivi)
|
questo per a, b ∈R+ ; x∈R ; y∈R.
In base a quanto visto,
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prefissato un numero reale a>0
è possibile associare, ad un qualsiasi numero reale x,
il numero reale a^x.
x → a^x (a , x ∈R , a>0)
Viene in questo modo definita
una funzione di variabile reale di equazione
quest’ultima è chiamata
funzione esponenziale di base a ,
che ha per
dominio di esistenza tutto l’insieme dei numeri reali R.
Nel caso banale in cui
a=1 per ogni valore di x appartenete ad R (∀x∈R) la funzione esponenziale non è altro che la funzione costante di equazione y=1.
Per la funzione esponenziale,
la discriminante a≠1 ha delle implicazioni molto importanti.
La funzione esponenziale di base a
con a>0 ∧ a≠1
è una funzione crescente se a>1
mentre
è una funzione decrescente se 0 < a < 1.
Come si vede dai grafici,
il codominio della funzione esponenziale
( il campo divariabilità della y)
è sempre l’insieme R+ dei numeri reali positivi;
cioè
∀x∈R risulta a^x > 0.
Per entrambe le funzioni si scrive
dominio D = (+∞ ; –∞)= R
codominio C = (0 ; +∞)= R+
La funzione esponenziale è sempre monotona crescente o decrescente.
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EQUAZIONI ESPONENZIALI
Sono chiamate equazioni esponenziali le equazioni in cui l’incognita appare all’esponente di qualche potenza.
La forma canonica di un’equazione esponenziale è
con a>0 e a≠1
infatti un’equazione, i cui due membri sono potenze della stessa base , equivale ad un’equazione i cui due membri sono gli esponenti di tali potenze.
Non tutte le equazioni esponenziali sono riducibili alla forma canonica.
la soluzione di 3x=-2 va esclusa perché questa equazione è impossibile dato che ∀x 3x>0
(il codominio di una funzione esponenziale è sempre positivo).
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DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Si chiamano disequazioni esponenziali tutte le disequazioni in cui l’incognita appare all’esponente di qualche potenza.
La forma canonica di una disequazione esponenziale è
con a>0 e a≠1
Per risolvere questo tipo di disequazione, bisogna ricordarsi che
Una disequazione esponenziale,
i cui due membri sono potenze di una stessa base maggiore di 1, equivale ad una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti di tali potenze.
Una disequazione esponenziale,
i cui due membri sono potenze di una stessa base positiva minore di 1, equivale ad una disequazione di verso opposto tra gli esponenti di tali potenze.
ma si poteva anche risolvere come
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questa disequazione,
ad esempio,
non è in forma canonica, ma la si può sempre ricondurre a tale forma:
il primo operando è maggiore di 0 quando t>8
il secondo operando è maggiore di 0 quando t>2
facendo il grafico e confrontando i segni la disequazione risulta soddisfatta per 2<2^x<8
dunque la soluzione è 1<x<3
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